动态几何题历来是考试的热点，其中关于“图形的重叠面积”问题是其中一个“主打”类型，备受中考命题者的青睐.2012年全国各地的中考试卷中，关于“图形的重叠面积”问题既有继承，也不乏推陈出新之“新锐”，其立意新颖，融几何、代数于一体，注重全面考查“四基”.现撷取几例归类解析，供读者赏析.
　　一、定矩形“斜”着沿直线运动
　　例1（2012江苏淮安）如图1，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135°，得到矩形EFGH（点E与O重合）.
　　（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM= ，OM= .
　　（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位.
　　①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
　　②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0　　42-2时，S与t之间的函数关系式.
　　解析：（1）由旋转的性质，得∠AOF=135°，OH=OC=2，则∠FOM=45°，则∠OHM=45°，得OM=
　　22.
　　（2）①如图2，利用平移的性质，得OE=MI=t，利用等腰直角三角形△OHM、△DOI的性质，得t= MI=OM-OI= OM-OD=22-2.
　　②由于旋转后将矩形平移，使重叠部分的图形形状发生变化，首先分别过H、G、F作y轴的平行线，然后让矩形沿着线平移，确定好矩形EFGH沿y轴向上平移过程中关键点的位置.因为0　　42-2<4，所以点E不会超过A，通过操作，可发现当0　　42-2时，几个关键点如图3，4，5所示：
　　如图3，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C，则t=OE=OC=2；
　　如图4，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O，则t=OE=2HE=22；
　　如图5，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C，利用“HG边上的三个等腰直角三角形”，可求出t=OE=42-2.
　　其次，分0　　22，
　　22　　42-2三种情况求出S与t之间的函数关系式.先分别画出居于每种情形之间的一般图形，再探究他们的面积求法.
　　其中图7与图8中如何确定CP的长度是难点，一种方法是过点P作垂线，构造一个等腰直角三角形和一个矩形，也可根据EF在平移过程中，永远有∠FEO=45°，从而用待定系数法求得直线EP的解析式为y= -x+t，再利用一次函数性质求出CP的长.
　　（Ⅰ）当0　　（Ⅱ）当2　　22时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为直角梯形OEPC的面积（如图5）.此时OE=t，OC=2.由E（0，t），∠FEO=45°，用待定系数法求得直线EP的解析式为y=-x+t.当x=2时，y=-2+t，所以CP=-2+t，所以S=12
　　（t-2+t）·2=2t-2.
　　（Ⅲ）当
　　22　　42-2时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为五边形EQCUV的面积（如图6），它等于直角梯形EQCO的面积减去直角三角形VOU的面积.此时，OE=t，OC=2，CQ=
　　-2+t，OU=OV= t-
　　22
　　.所以S=
　　12
　　（t-2+t）·2-12
　　（t-22）2=-12
　　t2+（2+22）t-6.
　　综上所述，当0　　42-2时，S与t之间的函数关系式为：
　　S=
　　12
　　t2 （0　　2t-2 （2　　-12
　　t2+（2+22）t-6（22　　42-2）
　　.
　　评注：本题文字图形简洁流畅，内涵丰富，涉及平移与旋转、特殊四边形、全等三角形、相似三角形、等腰直角三角形，一次函数、二次函数等知识点，解题过程中用到数形结合、静态到动态、一般与特殊、分类等多种数学思想和方法. 因为这种“歪”着向上平移的现象，较难想象，所以画出标准图形也是解决本题的一个关键点.本题无烦琐的计算，各种知识自然组合，突出对能力的考查.
　　二、变三角形沿直线运动
　　例2 （2012年广东省梅州市）如图9，矩形
　　OABC中，
　　A（6，0）、C（0，23）、
　　D（0，33），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和
　　x轴正半轴上动点，满足
　　∠PQO=60°.
　　（1）①点B的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点
　　Q 与点A重合时，点P的坐标为 .
　　（2）设OA的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使
　　△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m，若不存在，请说明理由.
　　（3）设点
　　P的横坐标为x，△OPQ与矩形
　　OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.
　　解析：（1）（6，
　　23），30，（3，
　　33）.
　　（2）首先画出△AMN为等腰三角形时的三种情形（如图10）：MN=AN，AM=AN，AM=MN，然后紧紧抓住P到x轴的距离为33、∠PQO=60°、∠CAO=30°，过点P、M作x轴的垂线，利用三角形函数即可求出m=0，m= 　　3-3，m=2.
　　（3）当P、Q运动时，重叠部分的图形形状发生变化，首先要确定图形形状有几种情形，然后确定它们的“分界点”.通过分析可得“分界点”分别为（图略）：点Q与点A重合时，这时AI=3，则x=OI=3；PQ经过点B时，这时QI=3，QA=2，则x=OI=5；OP经过点B时，这时x=OI=33PI=9.
　　因此，需分0≤x≤3，39四种情况求出S与x之间的函数关系式.先分别画出居于每种情形之间的一般图形，再探究他们的面积求法.
　　①如图11，当0≤x≤3时，此时重叠部分是梯形EFQO，利用△PEF∽△POQ，根据“对应高的比等于相似比”求出EF的长即可，其面积为：
　　S梯形=12（EF+OQ）OC=
　　433（3+x）.
　　②如图12，当3　　433（3+x）-
　　32（x-3）2.
　　③如图13，当5　　23x，则S=
　　12（BE+OA）OC=
　　3（12-23x）.
　　[TP<4S17
　　.tif>，BP#][TS（][HT5”SS][JZ]图13图14
　　[TS）]
　　④如图14，当x>9时，此时重叠部分是△OHA，利用△OAH∽△OIP，得AH=
　　183x，则S=
　　543x.
　　评注：本题△OPQ随着点P的运动大小也在变化，但是变中也有不变的，如P到x轴的距离为33、∠PQO=60°、∠CAO=30°，紧紧抓住这些不变的条件，寻找、构造出相关的直角三角形、相似三角形，利用三角形函数或相似三角形的性质进行求解可迅速获得解题思路.本题涉及的图形比较复杂，要仔细分析图形，将画图与空间想象相结合，明确图形运动的情形，确定分类的情形与依据. 本题充分考查了转化化归的能力、动手操作能力、空间想象能力和数学建模的能力.
　　三、变正方形与变梯形沿直线运动
　　例3（2012年吉林省） 如图15，在△ABC中，∠A=90°，AB=2 cm，AC=4 cm.动点P从点A出发，沿AB方向以1 cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动.以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F.设点P的运动时间为t s，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S cm2.
　　（1）当t=s时，点P与点Q重合；
　　（2）当t=s时，点D在QF上.
　　（3）当点P在Q、B两点之间（不包括Q、B两点）时，求S与t之间的函数关系式.
　　解析：（1）1（2）45.
　　（3）通过分析可得“分界点”分别为（图略）：①点P与点Q重合时，这时t=1；②点E与点F重合和点D在AB上；③点P与点B重合时，这时t=2.
　　当点D在AB上，AP=PD =t，BP=2-t，利用△BPD∽△BCA，得
　　t=43，此时点E与点F重合.
　　因此，需分1　　43，
　　43　　①如图16，当1　　4-3t2，则S=S正方形APDE-S梯形AEHQ=
　　94t2-2t.
　　②如图17，当
　　43　　-94t2+10t-8.
　　综上所述，
　　S=94t2-2t （1　　-94t2+10t-8 （43
　　　　评注：本题涉及重叠面积的两个图形都是变化的，由点P的运动得到一个变化的正方形，由点Q的运动得到一个变化的梯形.本题图形简洁，但意义深远，各种核心知识与思想方法自然流露，方法多样，在图形变化的过程中，出现众多的直角三角形都与△ABC相似，把握这点可利用相似或三角形函数即可求出关键的边长，从而求出重叠面积.让我们充分体验变中之不变的辨证关系.
　　四、变正方形沿折线运动
　　例4（2012年吉林省长春市）如图18，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8 cm，BC=4 cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE.点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止.点P在AD上以5 cm/s的速度运动，在折线DE-EB上以1 cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t（s）.
　　（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为 cm（用含t的代数式表示）.
　　（2）当点N落在AB边上时，求t的值.
　　（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式. 　　（4）连结CD.当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5 cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处. 直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围.
　　解析：（1）（t-2）
　　（2）①当点P在线段DE上时，如图19，N与D重合.PD = PN=PQ=EC=2，则
　　t-2=2，所以t=4.
　　②当点P在线段BE上，点N落在AB边上时，如图20. 利用△BNP∽△BAC，得PN=2PB.因为PE=t-6，则PN=PC=PE+EC=（t-6）+2=t-4，PB=2-（t-6）=8-t，则
　　t-4=2（8-t）
　　，解得t=203.所以当点N落在AB边上时，t的值为4或203.
　　（3）正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，有两种可能：点P在D与DE的中点之间和t>203.
　　①点P在D与DE的中点之间时，如图21，这时2　　12（4-t），则
　　S=22-14（4-t）2，即
　　S=-14
　　t2+2t.
　　②当
　　203　　EC=（t-6）+2=t-4，PB=2-（t-6）=8-t，则PF=16-2t，则DF=PN-PF=3t-20，再利用△NFG∽△CAB，得NG=
　　12
　　（3t-20），则
　　S=（t-4）2-14
　　（3t-20）2
　　，即
　　S=-54t2+22t-84.
　　（4）
　　t=143或
　　t=5或6≤t≤8.其中，当点H第一次落在线段CD上时，DN=t-4，NH=
　　12
　　（4-t），MH=2.5（t-4），所以
　　2.5（t-4）+12（t-4）=2，解得
　　t=143.类似地当点H第二次落在线段CD上时， 得
　　2.5（t-4）-2=12（t-4），解得
　　t=5.当点H第三次落在线段CD上时，得
　　6-2.5（t-4）=12
　　（t-4），解得t=6.当6≤t≤8时，MN=CM=2MH，点H恒在线段CD上.
　　评注：本题考查的知识十分丰富，有勾股定理、二次根式、相似三角形，一元一次方程、二次函数等核心知识，同时考查了方程思想、函数思想、化归思想、数形结合、分类思想等众多的数学思想.本题运动复杂多变，点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，且速度不同，同时点P的运动得到的是一个变化的正方形，H点的运动更是复杂，对学生的探究能力、创新能力是一次深刻检验，是能力立意的充分体现，能有效抑制题海战术，减轻学生的负担，对我们的教学有积极引导作用.
　　总结提炼解题过程中数学思想方法和解题策略，使之成为今后解题活动可迁移的方法和经验，这是解题学习的重要任务之一.
　　1.解决本类问题的一般步骤.
　　第一步：动手操作，让图形动起来，先尝试“走”一遍，“以动制动定分类”，确定图形运动过程中重叠图形的类型种类.
　　第二步：确定界点，“关注特殊，仔细观察”，确定不同类型之间的分界点的位置，求出对应数值，写出范围.
　　第三步：化“动”为“静”，画出居于每种“范围”之间的一般图形，描出目标图形，确定求解方法.
　　2.每一步操作中涉及的思想、方法与技巧
　　（1）提升动手操作能力.回顾本类问题的求解过程，好多同学发现从画图开始就思维受阻，没有“象样”的图形，根据无法思考.首先要熟练掌握“三大变换（平移、翻折、旋转）”的性质与作图方法，其次是熟练运用工具，如纸片、圆规等.
　　（2）注意特殊位置.要关注特殊的位置，这些特殊位置就是分界点或分界线，如例1中平移矩形的三条边与原始矩形的4个顶点之间的关系就是特殊的位置.关注这些位置有利于发现结论获得猜想，启发思路.
　　（3）要养成“图形意识”.我们在确定已知条件后，首先要确定目标图形，接着就要去寻找目标图形以外的图形，先观察猜想，然后想办法证明，并探询它们之间以及与目标图形之间的关系，有时还需要构造转化.这就是“模型思想”的应用，一个个图形就是一个个“模型”.
　　（4）紧抓“变与不变”.运动涉及到变化，对于整个运动过程中，既要关注哪些不变的图形与条件，也要关注哪些条件发生了变化，出现了什么新图形；能否通过类比将“变化的部分”进行转化.
　　（5）要注意“数图结合”.好多同学在解决问题时，不知道根据图形性质，尽量想办法，用含t的代数式去表示一些未知线段，并寻找关系列方程或函数.