论文部分内容阅读
本章是在认识概率的基础上进一步了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，发展随机观念，要求能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率，并能解决一些实际问题.
难点一：试验结果的等可能性
当一个试验所有可能的结果有若干个，每次只出现其中的某个结果，而且每个结果出现的机会都一样，我们说这个试验的结果具有等可能性.
例1 判断下列说法是否正确.
（1） 在一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色以外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性与摸到白球的可能性相同.
（2） 抛掷一枚质地均匀的骰子，出现六种点数中任何一种点数的可能性相同.
【解析】（1） 由于不清楚红、白两种颜色的球各有多少个，所以不能确定这个试验结果的可能性是否相同，故这题说法错误.
（2） 在骰子质地均匀的条件下，出现其中任何一点的机会是均等的，所以本题说法正确.
【点评】我们一般根据随机试验结果的均衡性或对称性判断试验结果是否具有等可能性.“等可能性”是一种理想的状态，我们不可在枝节问题上纠缠不清，要关注问题的本质.
例2 在一个不透明的袋子里装有2个红球和3个白球，这些球除颜色以外都相同，现从中任意摸出一个球，会出现哪些等可能结果？
【解析】这个袋子中共有5个球，摸到其中任意一个球的机会均等，故这个试验有5种等可能结果，也就是：摸到红球1，摸到红球2，摸到红球3，摸到白球1，摸到白球2.
【点评】一般地，一次试验的等可能结果是不可再分的基本事件，我们先分析出一次试验所有可能出现的基本事件，然后确定所有等可能结果.
难点二：使用列举法计算事件发生的概率
我们在学习用列举法计算等可能的条件下随机事件发生的概率时，列举出等可能结果要做到不重复、不遗漏，具体方法包括列表法和画树状图法.
例3 （2015·山东青岛改编）在一个不透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），甲先从中随机摸出一个球，记下数字后放回，乙再从中摸出一个球，记下数字.求两人的数字之和大于5的概率.
【解析】用列表法列举出共有16种等可能结果，其中数字之和大于5的共有6种，则
P（数字之和大于5）= = .
【点评】在分析可能出现的结果的过程中，当事件中涉及两个因素或需要两步完成的事件，并且可能出现的结果数目较多时，可以采用列表法分析出所有等可能结果.
例4 （2015·江苏无锡）（1） 甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人. 求第二次传球后球回到甲手里的概率.
（2） 如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是________.（请直接写出结果）
【解析】（1） 画树状图列出所有可能结果.
共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
∴P（第2次传球后球回到甲手里）= = .
（2） 在第（1）题画树状图的基础上可以算出第三次传球后所有等可能结果有n3个，而回到甲手里包含n（n-1）个结果，故应填 .
【点评】画树状图是列举随机事件的所有可能结果的主要方法之一.在分析可能出现的结果的过程中，当事件涉及两个或两个以上因素时，我们用画树状图的方法把所有等可能结果一一列出，既直观又条理分明.
例5 飞镖随机地掷在图1的靶子上.每个靶子各有3个区域A，B，C，试求：
（1） 在圆形的靶子中，飞镖投到区域A，B，C的概率分别是多少？
（2） 在三角形的靶子中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？
【解析】（1） A，B，C各自区域面积与靶子总面积之比即飞镖分别投到A，B，C区域的概率.
（2） 在三角形的靶子中，飞镖没有投在区域C中的概率即为飞镖投在A、B区域的概率是 .
【点评】向某一图形内随机投掷一点，落在某个区域的概率等于这一区域的面积与整个图形的面积之比.当遇到一些需要列举出等可能结果时，可以将整个图形分成若干个面积相等的区域，然后再分析等可能结果.
难点三：运用概率解决综合问题
概率是描述不确定现象规律的数学模型，可以和其他数学模型同时出现解决一些综合问题，也可以用它来判断游戏规则是否公平，甚至可以帮助我们对一些关键问题做出合理的决策.
例6 如图2，甲、乙两个可以自由转动的均匀转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）.
（1） 请你求出m n>1的概率；
（2） 直接写出点（m，n）落在函数y=- 图像上的概率.
【解析】（1） 画树状图或列表可知，所有等可能的结果有12种，其中m n>1的情况有5种；
（2） 要求点（m，n）在函数y=- 图像上的概率也就是求mn=-1的概率.
【点评】要学会灵活运用所学知识解决问题，进一步提升综合运用知识的能力.
例7 （1） 如图①，把8块白色的小正方形中任意一个涂成黑色，使整个图形成为一个轴对称图形，成功的概率是多少？
（2） 如图②，把13块白色的小正方形中任意一个涂成黑色，使整个图形成为轴对称图形的成功概率是多少？
（3） 如图③，⊙O半径为100厘米，用一个半径为10厘米的圆环去套圆心O（圆环落于⊙O内，圆心O在圆环边上或内部都算套中），求套中的概率.
【解析】（1） 把其余3个角或者正中间的正方形共4种涂黑，皆可得轴对称图形，所以所求概率为 ；
（2） 左下角到右上角的对角线经过的3块小正方形任意涂黑均可得轴对称图形，则概率为 ；
（3） 易得套中的面积区域为以点O为圆心，以20厘米为半径的圆，求出该区域的面积与大圆的面积比即可得出套中的概率为 .
【点评】本章知识可以判断一些事件成功的概率，体现概率的价值.
小试身手
1. （2015·上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是________.
2. （2015·北京朝阳）小球在如图4所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是________.
3. 从3，0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=（5-m2）x和关于x的方程（m 1）x2 mx 1=0中m的值，恰好使所得函数的图像经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________.
参考答案：
1. 0.14 2. 3.
（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）
难点一：试验结果的等可能性
当一个试验所有可能的结果有若干个，每次只出现其中的某个结果，而且每个结果出现的机会都一样，我们说这个试验的结果具有等可能性.
例1 判断下列说法是否正确.
（1） 在一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色以外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性与摸到白球的可能性相同.
（2） 抛掷一枚质地均匀的骰子，出现六种点数中任何一种点数的可能性相同.
【解析】（1） 由于不清楚红、白两种颜色的球各有多少个，所以不能确定这个试验结果的可能性是否相同，故这题说法错误.
（2） 在骰子质地均匀的条件下，出现其中任何一点的机会是均等的，所以本题说法正确.
【点评】我们一般根据随机试验结果的均衡性或对称性判断试验结果是否具有等可能性.“等可能性”是一种理想的状态，我们不可在枝节问题上纠缠不清，要关注问题的本质.
例2 在一个不透明的袋子里装有2个红球和3个白球，这些球除颜色以外都相同，现从中任意摸出一个球，会出现哪些等可能结果？
【解析】这个袋子中共有5个球，摸到其中任意一个球的机会均等，故这个试验有5种等可能结果，也就是：摸到红球1，摸到红球2，摸到红球3，摸到白球1，摸到白球2.
【点评】一般地，一次试验的等可能结果是不可再分的基本事件，我们先分析出一次试验所有可能出现的基本事件，然后确定所有等可能结果.
难点二：使用列举法计算事件发生的概率
我们在学习用列举法计算等可能的条件下随机事件发生的概率时，列举出等可能结果要做到不重复、不遗漏，具体方法包括列表法和画树状图法.
例3 （2015·山东青岛改编）在一个不透明的袋子中装有编号为1～4的四个球（除编号外都相同），甲先从中随机摸出一个球，记下数字后放回，乙再从中摸出一个球，记下数字.求两人的数字之和大于5的概率.
【解析】用列表法列举出共有16种等可能结果，其中数字之和大于5的共有6种，则
P（数字之和大于5）= = .
【点评】在分析可能出现的结果的过程中，当事件中涉及两个因素或需要两步完成的事件，并且可能出现的结果数目较多时，可以采用列表法分析出所有等可能结果.
例4 （2015·江苏无锡）（1） 甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人. 求第二次传球后球回到甲手里的概率.
（2） 如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是________.（请直接写出结果）
【解析】（1） 画树状图列出所有可能结果.
共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
∴P（第2次传球后球回到甲手里）= = .
（2） 在第（1）题画树状图的基础上可以算出第三次传球后所有等可能结果有n3个，而回到甲手里包含n（n-1）个结果，故应填 .
【点评】画树状图是列举随机事件的所有可能结果的主要方法之一.在分析可能出现的结果的过程中，当事件涉及两个或两个以上因素时，我们用画树状图的方法把所有等可能结果一一列出，既直观又条理分明.
例5 飞镖随机地掷在图1的靶子上.每个靶子各有3个区域A，B，C，试求：
（1） 在圆形的靶子中，飞镖投到区域A，B，C的概率分别是多少？
（2） 在三角形的靶子中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？
【解析】（1） A，B，C各自区域面积与靶子总面积之比即飞镖分别投到A，B，C区域的概率.
（2） 在三角形的靶子中，飞镖没有投在区域C中的概率即为飞镖投在A、B区域的概率是 .
【点评】向某一图形内随机投掷一点，落在某个区域的概率等于这一区域的面积与整个图形的面积之比.当遇到一些需要列举出等可能结果时，可以将整个图形分成若干个面积相等的区域，然后再分析等可能结果.
难点三：运用概率解决综合问题
概率是描述不确定现象规律的数学模型，可以和其他数学模型同时出现解决一些综合问题，也可以用它来判断游戏规则是否公平，甚至可以帮助我们对一些关键问题做出合理的决策.
例6 如图2，甲、乙两个可以自由转动的均匀转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）.
（1） 请你求出m n>1的概率；
（2） 直接写出点（m，n）落在函数y=- 图像上的概率.
【解析】（1） 画树状图或列表可知，所有等可能的结果有12种，其中m n>1的情况有5种；
（2） 要求点（m，n）在函数y=- 图像上的概率也就是求mn=-1的概率.
【点评】要学会灵活运用所学知识解决问题，进一步提升综合运用知识的能力.
例7 （1） 如图①，把8块白色的小正方形中任意一个涂成黑色，使整个图形成为一个轴对称图形，成功的概率是多少？
（2） 如图②，把13块白色的小正方形中任意一个涂成黑色，使整个图形成为轴对称图形的成功概率是多少？
（3） 如图③，⊙O半径为100厘米，用一个半径为10厘米的圆环去套圆心O（圆环落于⊙O内，圆心O在圆环边上或内部都算套中），求套中的概率.
【解析】（1） 把其余3个角或者正中间的正方形共4种涂黑，皆可得轴对称图形，所以所求概率为 ；
（2） 左下角到右上角的对角线经过的3块小正方形任意涂黑均可得轴对称图形，则概率为 ；
（3） 易得套中的面积区域为以点O为圆心，以20厘米为半径的圆，求出该区域的面积与大圆的面积比即可得出套中的概率为 .
【点评】本章知识可以判断一些事件成功的概率，体现概率的价值.
小试身手
1. （2015·上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是________.
2. （2015·北京朝阳）小球在如图4所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是________.
3. 从3，0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=（5-m2）x和关于x的方程（m 1）x2 mx 1=0中m的值，恰好使所得函数的图像经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________.
参考答案：
1. 0.14 2. 3.
（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）