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20世纪20年代,著名芬兰数学家R.Nevanlinna系统运用Possion-Jensen公式,创立了亚纯函数值分布理论,堪称二十世纪最伟大的数学成就之一。它不仅奠定了现代亚纯函数的理论基础,而且对数学其它分支的发展,交叉及融合也产生了重大而深远的影响,特别是对复微分方程理论的研究,Nevanlinna理论的成功介入为之提供了极为重要的理论研究工具,并使得这一领域的发展充满生机。本文也将以Nevanlinna值分布理论为主要工具,研究与微分多项式分担值相关的亚纯函数唯一性问题的相关内容,全文共分为四章。第一章,简单概述Nevanlinna值分布理论,常用标准符号以及一些经典结论。第二章,我们首先研究了一类指数型函数的增长性,作为它的应用,进而研究了一类非线性微分方程超越整函数解的增长性,形如()()’’f(z)+P(z)f(z)+Q z f z=0,(0-1)其中P(z),Q(z)是整函数,当P(z),Q(z)满足某些特定条件时,我们证明(0-1)式的每个非零解其超级为1,我们的主要研究结果如下:定理2.1假设()()()1 23()()()1 2 3()b z b zb zF z=a z e+a z e+a z e且F(z)不为常数,那么有(){()}()1 3,max,,ib i T r F T r e S r F￡￡3+,这里ia,ib是整函数且()31(,),,(1,2,3)ib iiT r a S r e i=?==.注:考虑F(z)的一般性即:1()inb iiF z a e==?且不为常数,那么对于任意整数n31,类似地有(){()}()1,max,,ib i n T r F T r e S r F￡￡3+,其中ia,ib是整函数且()1(,),,(1,2,,)inb iiT r a S r e i n=?==×××.接下来,我们采用了新的方法处理更具一般性的差分或者微分差分方程,形如()1 1(1)’1 11()0n i n n d ndb n i i f c e f c e f a e f---=++×××++?=,(0-2)其中,i ia b是整函数且满足1(,)(,)(1,2,,)inb iiT r a S r e i n=?==×××;,j jc d也为满足11(,)(,)(1,2,,1)jn d jjT r c S r e j n-=?==×××-的整函数,得到结论如下:定理2.2如果(1,2,,)ib i=×××n和(1,2,,1)jd j=×××n-是多项式,且满足{}111(,)max(,)(,)j i in db b ji n T r e T r e S r e-=￡￡?<+,则(0-2)的每一个解f(o/0)必有(){()}21max degii nrf b￡￡=.第三章,Hayman曾尝试研究一类非线性微分方程的亚纯解,形如:()2’’’’0 1 2 3ff-f=k+k f+k f+k f,(0-3)其中(0,1,2,3)jk j=是常数。Chiang和Halburd[27]研究该问题得到了(0-3)式亚纯解的一般形式;此后,Liao[28]证明了(0-3)式所有亚纯解均为整函数。在本章中,我们则运用更统一简捷地方法对上述已知结论进行证明,主要结果可以做如下表述:便于证明,我们设3w=f-k,将(0-3)改写成()2’’’ww-w=aw+bw+g,(0-4)其中a,b,g是常数。定理3.1如果g10,则(0-4)的解为:()exp,0,0zcz a a z cagawaa±±ì????÷-1=íè??+=?其中c是常数且242abbg±-±-=.定理3.2如果g=0,那么我们考虑(0-4)的解,有(1)如果ab10,则()z z ceabw-=,其中c为常数;(2)如果a=0,则()21211c zc e c z z c cbwbì+???=í-+????,这里1 2c,c是常数。(3)如果??0,则??1 221 2,0,02Az Azc e c e A Az z c z c A??????????????????其中A=0时,1 2c,c是使得21 2c?2?c?0的常数;A?0时,1 2c,c是满足2 21 24c c A??的常数。第四章,我们主要研究一类微分多项式方程的零点分布问题,形如:??1 1()()nk n n np f a f f P f????,这里f为满足N?r,f??S?r,f?的超越亚纯函数,0na??,??n1P f?是关于f的微分多项式,其系数为f的小函数且1deg()1nP f n???.另外,我们采用不同于前人的方法对目前的结论做了进一步地推广。定理4.1设f为超越亚纯函数且N?r,f??S?r,f?,则对任意的正整数n?2,????1 0nk n nF a f f P f a????有无限多零点,其中??n1P f?是关于f的微分多项式且??10 0nP??,1deg()1nP f n???,0,na a是f的小函数且满足00na a??。定理4.2设f为超越亚纯函数且N?r,f??S?r,f?,p,q是关于f的非零小函数,则?k?pff?q和?l?pff?q至少有一个有无限多零点,其中l,k为整数且满足l?k?2.