上世纪二十年代,芬兰数学家R. Ncvanlinna引入了亚纯函数的特征函数,并建立了两个基本定理,从而创立了Nevanlinna值分布理论.他所创立的这一理论被认为是二十世纪最重大的数学成就之一,不仅奠定了亚纯函数理论研究的基础,而且对数学其它分支的发展产生了重大而深远的影响.尽管现在亚纯函数值分布理论已经趋于完善,但是对于其中一些经典问题的研究仍在继续,并且随着Ncvanlinna理论自身的不断发展,这一理论也广泛地应用到了其它数学领域,如位势理论,正规族,多复变量理论,复微分方程以及复差分方程等.我们知道,多项式除了一个常数因子外,由其零点而定.但对于超越整函数及亚纯函数来说,仅仅考虑零点是不够的,因此如何确定一个亚纯函数的讨论就显得复杂而有趣了.亚纯函数唯一性理论就是探讨在什么情况下只存在一个函数满足给定的条件,以及满足给定条件的函数之间有什么样的关系R. Ncvanlinna给出了唯一性理论上的经典的结果,即五值定理和四值定理.许多国内外著名的学者在这一方面做了大量的工作,取得了一系列引人注目的成果.这一理论也出现了越来越多的分支,比如亚纯函数与其导数的唯一性问题,这方面的研究成果可见[1].对应于亚纯函数与其导数的唯一性问题,Hcittokangas [2]等人最近开始考虑亚纯函数与其平移的分担值问题,这方面的研究基于复差分的Ncvanlinna理论,其中最关键的结果就是差分上的对数导数引理Halburd和Korhoncn [3,4], Chiang和Feng [5]分别独立给出了这个引理的两种表达形式.本文主要讨论了亚纯函数分担两个值的唯一性问题,以及一些微分差分方程的值分布问题.论文的结构安排如下.第一章,作为背景知识,我们首先简单介绍了Ncvanlinna理论的一些经典结果,其次介绍了差分中的对数导数引理,该引理是差分中Nevanlinna理论的奠基石,最后介绍了本文中用到的一个重要定理:Wiman-Valiron定理.第二章,我们研究了关于两个亚纯函数的非线性微分多项式分担值的唯一性问题,得到了几个唯一性的定理.它们改进了Fang和Hua[6],Yang和Hua[7]以及Fang和Qiu[8]的结果.实际上,我们证明了以下定理.定理0.1.设f和g是两个超越亚纯函数,它们零点的重级至少是k,其中k是正整数.令n>max{2k-1,k+4/k+4}是一个正整数.如果fnf（k）和gng（k）分担z CM,f和g分担∞IM,那么f和9满足下列情形之一?（i）fnf（k）=gng（k）.（ii）f（z）=c1ecz2,g（z）=c2e-cz2,其中c1,c2和c是常数,且满足4（c1c2）n+1c2=-1.定理0.2.设f和g是两个非常数亚纯函数,它们零点的重级至少是k,其中k是正整数.令n>max{2k一1,k+4/k+4}是一个正整数.如果fnf（k）和gng（k）分担1CM,f和g分担∞IM那么f和9满足下列情形之一.（i）fnf（k）=gng（k）.（ii）f（z）=c3edz,g（z）=c4e-dz,其中c3,c4和d是常数,且满足（-1）k（c3c4）n+1d2k=1.第三章,我们首先讨论了一类非线性差分方程和多项式的解的存在和增长性问题,得到以下一些结果.同时我们给出几个例子,证明我们结果中的有些条件是必须的.定理0.3.设p（z）, r（z）和s（z）是非零多项式,c是非零复数.如果n>m+1（或m>n+1）是两个正整数,那么非线性差分方程f（z）n+p（z）f（z+c）m=r（z）es（z）,没有有穷级超越整函数解.定理0.4.考虑差分方程f（z）n+p（z）f（z+c）m=g（z）,其中p和q是非零有穷级整函数,m和n是正整数,c是非零复数.如果整函数f满足A（f）<(σ（f）=∞且σ2（f）<∞,那么f不是该方程的解.定理0.5.假定方程f（z）n+p（z）f（z+c）m=q（z）具有有穷级整函数解f,其中q是有穷级非零整函数,p是f的小函数,m≠n是正整数,c是非零复数.那么σ（f）=σ（q）.对应于fnf’值分布问题的研究,我们也探讨了整函数差分乘积f（z）n（f（z）-1）f（z+c）的值分布情况,解决了Zhang[9]和Qi[10]没有解决的n=1时的情形,得到以下主要结果.定理0.6.设f是有穷级超越整函数,且有Borel例外值a.c是一个非零复数.则有λ（f（f-1）f（z+c）-b）=σ（f）,其中b≠a3-a.定理0.7.设f是有穷级超越整函数,c是一个非零复数.如果f（z）或f（z）-1有无穷多个重级零点,那么f（z）（f（z）-1）f（z+c）取每一个a∈C无穷多次.第四章,我们研究了与Bruck猜想有关的一些微分差分方程的值分布问题,改进了Chen,Shon[11],Wang[12]和Liu,Chen[13]的结果,得到以下主要定理.定理0.8.设f是非常数整函数,σ2（f）<∞且不是正整数.令L1（f）=ak（z）f（k）+ak-1（z）f（k-1）+…+a2（z）f（k+1）+f,（k≥2）其中aj（z）（2≤j≤k）是级小于1的整函数,且ak（z）≠0.如果f和L1（f）分担z IM,并且那么L1（f）-z=h（z）（f-z）,其中b是级不大于s的亚纯函数.定理0.9.设f是非常数整函数,级σ（f）<1/2,a是f的一个非零小函数.令A（f）=ak（z）△kf+…+a1（z）△f+a0（z）f,其中aj（z）（j=0,1,…,k）是多项式且ak（z）≠0.如果f-a（z）=0→A（f）-a（z）=0,那么其中B（z）是一个非零多项式.