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不等式在高考试卷上“看似没有，但处处皆有”，推理与证明更是数学高考的重要能力要求，对于这两部分内容同学们常常因为理解不透彻，解题思路不严谨而致误.细节决定成败，忽视知识、方法的细微之处，想当然地去考虑问题，把问题主观化、简单化，必然导致错误的发生.下面我们分门别类，结合示例，剖析致错原因，让同学们学会关注细节，增强思维的严密性，笑对高考.
一、不等式易错点探究
运用不等式知识解题时容易发生以下错误：求范围问题多次利用不等式后扩大了变量的取值范围；使用基本不等式求最值时，忽视了其前提“一正、二定、三相等”；连续使用基本不等式，忽视验证同时满足任何一次的字母取值是否存在、是否一致；对使用基本不等式时等号取不到的情况，不能改变解题策略（例如借助函数y=x mx（m>0）的单调性）.
.
二、推理与证明易错点剖析
从近几年的高考来看，推理与证明这部分内容主要考试题型有：1.利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论；2.将演绎推理与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题；3.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列知识为载体，考查分析法、综合法、反证法.同学们容易发生的错误有：
类型1 归纳不准确
例8 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项，如下表所示.
a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12
x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6
按如此规律下去，则a2013 a2014 a2015= .
易错分析：本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应法则，归纳出该数列的一般关系.可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系.
正解分析：本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2n=n（n∈N*），各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n-3 a4n-1=0（n∈N*），
正解：a1=1，a2=1，a3=-1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=-2，a8=4，…，这个数列的规律是奇数项为1，-1，2，-2，3，…，偶数项为1，2，3，…，故a2013 a2015=0，a2014=1007，故a2013 a2014 a2015=1007.
点评：本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.
类型2 类比不得法
例9 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2=1AB2 1AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由.
易错分析：没有掌握类比的一般规律，不知道从平面如何过渡到空间，感觉无从下手，只能瞎写一通.
其实由平面中的结论类比到空间，一般规律是：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形面积公式中的“二分之一”与三棱锥体积公式中的“三分之一”是类比对象.
正解：类比AB⊥AC，AD⊥BC，1AD2=1AB2 1AC2猜想：
四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，E为垂足，则1AE2=1AB2 1AC2 1AD2.
证明：如图，连结BE并延长交CD于F，
连结AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF平面ACD，∴AB⊥AF，
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴1AE2=1AB2 1AF2.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2=1AC2 1AD2.
∴1AE2=1AB2 1AC2 1AD2，故猜想正确.
探究提高：（1）类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.
（2）类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.
类型3 利用反证法时，不能作出正确的反设
例10 否定“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”时，正确的反设为 .
错解：自然数a，b，c中没有偶数.
错因分析：对“恰有”否定出错.数学中“恰有”是指“有且只有”.自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c中恰有一个数为偶数；a，b，c全为奇数.所以反设应为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”.
正确答案：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.
类型4 分析法、综合法运用不到位
例11 已知函数f（x）=log2（x 2），a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a） f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论.
易错分析：一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范.
正解分析：（1）判断两式的大小关系，可用特例法；（2）用分析法探寻证题思路；（3）用综合法完成证明.事实上，取a=1，b=2，c=4，则f（a） f（c）=f（1） f（4）=
探究提高：综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程.有时还要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功.
（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）
一、不等式易错点探究
运用不等式知识解题时容易发生以下错误：求范围问题多次利用不等式后扩大了变量的取值范围；使用基本不等式求最值时，忽视了其前提“一正、二定、三相等”；连续使用基本不等式，忽视验证同时满足任何一次的字母取值是否存在、是否一致；对使用基本不等式时等号取不到的情况，不能改变解题策略（例如借助函数y=x mx（m>0）的单调性）.
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二、推理与证明易错点剖析
从近几年的高考来看，推理与证明这部分内容主要考试题型有：1.利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论；2.将演绎推理与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题；3.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列知识为载体，考查分析法、综合法、反证法.同学们容易发生的错误有：
类型1 归纳不准确
例8 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项，如下表所示.
a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12
x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6
按如此规律下去，则a2013 a2014 a2015= .
易错分析：本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应法则，归纳出该数列的一般关系.可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系.
正解分析：本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2n=n（n∈N*），各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n-3 a4n-1=0（n∈N*），
正解：a1=1，a2=1，a3=-1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=-2，a8=4，…，这个数列的规律是奇数项为1，-1，2，-2，3，…，偶数项为1，2，3，…，故a2013 a2015=0，a2014=1007，故a2013 a2014 a2015=1007.
点评：本题实质是根据前几项，归纳猜想一般规律，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.
类型2 类比不得法
例9 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2=1AB2 1AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由.
易错分析：没有掌握类比的一般规律，不知道从平面如何过渡到空间，感觉无从下手，只能瞎写一通.
其实由平面中的结论类比到空间，一般规律是：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形面积公式中的“二分之一”与三棱锥体积公式中的“三分之一”是类比对象.
正解：类比AB⊥AC，AD⊥BC，1AD2=1AB2 1AC2猜想：
四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，E为垂足，则1AE2=1AB2 1AC2 1AD2.
证明：如图，连结BE并延长交CD于F，
连结AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF平面ACD，∴AB⊥AF，
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴1AE2=1AB2 1AF2.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2=1AC2 1AD2.
∴1AE2=1AB2 1AC2 1AD2，故猜想正确.
探究提高：（1）类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.
（2）类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.
类型3 利用反证法时，不能作出正确的反设
例10 否定“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”时，正确的反设为 .
错解：自然数a，b，c中没有偶数.
错因分析：对“恰有”否定出错.数学中“恰有”是指“有且只有”.自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c中恰有一个数为偶数；a，b，c全为奇数.所以反设应为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”.
正确答案：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.
类型4 分析法、综合法运用不到位
例11 已知函数f（x）=log2（x 2），a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a） f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论.
易错分析：一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范.
正解分析：（1）判断两式的大小关系，可用特例法；（2）用分析法探寻证题思路；（3）用综合法完成证明.事实上，取a=1，b=2，c=4，则f（a） f（c）=f（1） f（4）=
探究提高：综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程.有时还要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功.
（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）