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《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题;借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简洁、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果;几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。笔者认为，几何直观是利用图形洞察问题本质的一种方式，它既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点。如果能够将几何直观作为一种重要的方法、思想渗透于日常教学中，就能帮助学生理解数学知识，提高解决问题的能力。那么，如何在数学教学中培养小学生的几何直观能力呢？
一、以形译数，让抽象的数变直观
按照双重编码理论，造成数学知识学习和记忆困难的主要原因在于数学学习材料（数学语言和符号）具有高度的抽象性，它不容易唤起视觉印象。因此，在小学数学教学中应该重视对学生进行心理印象方面的训练。即在知识的形成阶段，充分利用数学学习材料数与形统一的特点，引导学生将数学知识的言语表征转化为表象表征，将数译成形，形成科学、合理的概念系统。
如，一位教师教学“认识一位小数”时，就特别强调将数的意义通过直观的形式表现出来。教师先后组织了三个层次的活动，引导学生将数译成形。第一个层次，让学生用语言描述0.1的含义，既激发了学生对0.1的已有认识，又为下面画图表示0.1做了必要的准备。第二个层次，让学生在表示整数“1”的正方形中分一分、涂一涂，表示出0.1的大小，再用语言描述所画图的含义。结果，学生有4种表示方法，即把正方形平均分成10行，涂其中的一行;把正方形平均分成10列，涂其的一列;把正方形平均分成5行2列，涂其中的一份;把正方形平均分成两行5列，涂其中的一份。如果把这四种方法进行归类，实质上是两种表示方法（如图1、图2）。
图1 图2
第三个层次，引导学生借助一个被平均分成10份的长方形，涂色表示出其他的“零点几”，并由此归纳一位小数的含义。这样以形译数，把抽象的数变得直观可见，既帮助学生理解了一位小数的意义，又有利于学生积累更丰富的用图形表征数学概念的经验。更为重要的是增强了学生的数感，发展了他们的几何直观能力。
二、以形译式，让抽象的式变直观
在小学数学中，有相当一部分数学知识都是伴随着几何意义而存在的。教师在数学课堂教学中加强数学知识几何意义的阐释，有利于学生形成知识表象，促进对数学知识的理解和记忆，积累表象建构的经验，同时也为问题解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能。特别是对于一些难以用语言表达的抽象算式，如果能用直观的图形表示出来，就可以让抽象的算理变得通俗易懂，从而让学生轻松学会。
如，教学“乘法的初步认识”时，首先引导学生用加法式子表示各种图形的的含义（如图3），然后利用图4让学生感受列加法算式比较麻烦，从而想到用简洁的算式，即乘法算式来表达。最后，利用图5来沟通直观图形、加法算式、乘法算式之间的联系。
这样教学，就为学生主动建构乘法意义的表象提供了丰富的素材，加深了学生对乘法意义的理解，式与形实现了完美统一，使学生初步获得了利用图形直观描述数学知识的经验。
图3 图4 图5
又如，教学“分数除以分数”时，设计如图6这幅图片：
图6
当学生理解了这幅图的含义，对于÷=3的理解也就水到渠成。可见，根据学生的特点适度以形译式，可能会取得意想不到的效果。
三、以形译形，让抽象的形变直观
小学生的空间观念薄弱，主要因为他们年龄小，知觉水平尚处于低级阶段，抽象思维能力相对较弱。学生初次接触的几何图形是从整体上认识的，不会关注图形的细节，是一种照相机式的认识方法。他们难以对图形进行合理地想象，难以正确地理解图形的内涵。因此，小学生学习几何需要更多的经验，通过观察比较，获得对图形丰富的感性认识，从而较好地把握图形的本质特征。
如，教学“认识梯形”时，教师设计了如下的一组图形（如图7），让学生辨认。
图7
这样通过位置变换，让学生认识在不同位置状态下的梯形，学生对梯形的认识就会全面而深刻。
又如，在学生学完“长方形和正方形的周长”后，设计如下一道习题：
两个完全一样的长方形，长4厘米，宽3厘米。如果将这两个图形拼成一个新的大长方形，这个新的大长方形的周长至少是多少厘米？
学生的认识比较肤浅，初做这道题，全班同学几乎“全军覆没”，他们都是先求出一个长方形的周长，然后再将这个周长乘2就是大长方形的周长。为此，教师利用课件展示如下两种拼的结果（如图8、图9）：
图8
图9
在这两个直观图形的参照下，学生经过思考、交流、讨论，最后算出图8的周长是22厘米，图9的周长是20厘米。在此基础上，教师再让学生说说为什么这两个大长方形周长会不一样。学生通过观察知道，图8减少了两条宽，而图9减少了两条长，因此周长不一样。至此，学生也就明白“至少”的含义。
上述这两个例子带给我们的启示是：想让学生牢固把握几何图形的内涵，就应当重感知、重体验、重理解，用图形的直观帮助学生理解图形的本质。
四、以形译联，让抽象的联变直观
尽管不同数学知识的内涵不同，但它们之间却并非毫无联系。不要把几何直观简单地等同于能用图形描述问题的技能，几何直观更为深远的意义表现为能够借助图形去分析知识之间的联系，从而让学生建立正确的、稳固的知识结构。因此，当学生遇到一些难以厘清的相关概念之间的关系时，教师要适时以形译联，让抽象的知识变得更直观。如，教学“长方形和正方形的关系”时，学生常会说“长方形是特殊的正方形”，究其原因是学生没有厘清两者的关系。为此，教师应引导学生一起画韦恩图（如图10）： 图10
当学生画过这韦恩图后，对两者之间的关系就记忆犹新了。
又如，在学习“平行四边形面积”时，教师引导让学生通过观察，想象沿着平行四边形的高剪下一个三角形，拼到另一侧就可转化为一个长方形（图11），然后进行对比，找到两者之间的联系，从而得出面积计算公式。
图11
这种以观察、操作等为手段得出结论的几何学习方法，就是直观几何。在小学中，无论是几何图形的特征、性质还是求积的公式，基本上都是通过这样的直观方法得到的。因为这样的方法，可以让学生较快地厘清各知识之间的联系。
五、以形译题，让抽象的题变直观
几何直观是揭示数学对象性质的有力工具，借助几何直观描述和分析数学问题的过程也是发展学生空间观念的重要途径。数学家波利亚曾这样说：“图形不仅是几何题目的对象，而且对与几何一开始没什么关系的题目，图形也是一种重要的帮手。”从一定程度上来看，直观的背景资料和几何形象能为学生创造自主思考的机会，借助几何图形，能客观描述数学问题，帮助学生更好地理解题意、分析问题，从而更好地解决问题。如，教学“解决问题的策略——倒推”中，教师出示了如下这道例题：
两杯果汁共400毫升。甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯果汁同样多。求原来两杯果汁各有多少毫升？
教学时，教师借助几何直观，通过画图帮助学生描述数学问题，理解两杯果汁容量间的变化关系（如图12）：
图12
两杯果汁，原来的容量未知，从甲杯倒入乙杯后，果汁数量发生了变化，通过直观形象的图示，让学生清晰地看到乙杯此时的数量。再通过列表摘录相关信息，学生对于求甲乙两杯果汁原来的容量就能迎刃而解。
上述环节，学生借助示意图，能充分表征问题情境，深刻理解题意，把握事件里的数学信息的内在联系，图形为学生的问题解决提供了有力的支撑。对“为什么要倒过去想”“如何倒推”这两个核心问题有了充分的体验。
又如，三年级学生要学习“同分子的分数大小比较”，这个知识相对比较抽象，学生较难理解。此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）以下几何图形（图13）的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理。学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，就可以说他们有几何直观的能力。可见，以形译题可以让抽象的题变直观。
图13
总之，越是高度抽象的数学内容，往往越需要形象、直观的模型作为其解释和支撑。对于学生的数学学习而言，几何直观是为了让他们形成生动表象，并借以形成概念、发展规律，促进他们抽象思维能力以及解决数学问题能力的提升。因此，几何直观能力的培养应贯穿于整个小学数学学习的全过程，通过对学生几何直观能力的培养，使学生学会数学的一种思考和学习方式，以促进他们学习能力的提升和数学素养的发展，也为今后深入学习数学奠定坚实的基础。
◇责任编辑：徐新亮◇
一、以形译数，让抽象的数变直观
按照双重编码理论，造成数学知识学习和记忆困难的主要原因在于数学学习材料（数学语言和符号）具有高度的抽象性，它不容易唤起视觉印象。因此，在小学数学教学中应该重视对学生进行心理印象方面的训练。即在知识的形成阶段，充分利用数学学习材料数与形统一的特点，引导学生将数学知识的言语表征转化为表象表征，将数译成形，形成科学、合理的概念系统。
如，一位教师教学“认识一位小数”时，就特别强调将数的意义通过直观的形式表现出来。教师先后组织了三个层次的活动，引导学生将数译成形。第一个层次，让学生用语言描述0.1的含义，既激发了学生对0.1的已有认识，又为下面画图表示0.1做了必要的准备。第二个层次，让学生在表示整数“1”的正方形中分一分、涂一涂，表示出0.1的大小，再用语言描述所画图的含义。结果，学生有4种表示方法，即把正方形平均分成10行，涂其中的一行;把正方形平均分成10列，涂其的一列;把正方形平均分成5行2列，涂其中的一份;把正方形平均分成两行5列，涂其中的一份。如果把这四种方法进行归类，实质上是两种表示方法（如图1、图2）。
图1 图2
第三个层次，引导学生借助一个被平均分成10份的长方形，涂色表示出其他的“零点几”，并由此归纳一位小数的含义。这样以形译数，把抽象的数变得直观可见，既帮助学生理解了一位小数的意义，又有利于学生积累更丰富的用图形表征数学概念的经验。更为重要的是增强了学生的数感，发展了他们的几何直观能力。
二、以形译式，让抽象的式变直观
在小学数学中，有相当一部分数学知识都是伴随着几何意义而存在的。教师在数学课堂教学中加强数学知识几何意义的阐释，有利于学生形成知识表象，促进对数学知识的理解和记忆，积累表象建构的经验，同时也为问题解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能。特别是对于一些难以用语言表达的抽象算式，如果能用直观的图形表示出来，就可以让抽象的算理变得通俗易懂，从而让学生轻松学会。
如，教学“乘法的初步认识”时，首先引导学生用加法式子表示各种图形的的含义（如图3），然后利用图4让学生感受列加法算式比较麻烦，从而想到用简洁的算式，即乘法算式来表达。最后，利用图5来沟通直观图形、加法算式、乘法算式之间的联系。
这样教学，就为学生主动建构乘法意义的表象提供了丰富的素材，加深了学生对乘法意义的理解，式与形实现了完美统一，使学生初步获得了利用图形直观描述数学知识的经验。
图3 图4 图5
又如，教学“分数除以分数”时，设计如图6这幅图片：
图6
当学生理解了这幅图的含义，对于÷=3的理解也就水到渠成。可见，根据学生的特点适度以形译式，可能会取得意想不到的效果。
三、以形译形，让抽象的形变直观
小学生的空间观念薄弱，主要因为他们年龄小，知觉水平尚处于低级阶段，抽象思维能力相对较弱。学生初次接触的几何图形是从整体上认识的，不会关注图形的细节，是一种照相机式的认识方法。他们难以对图形进行合理地想象，难以正确地理解图形的内涵。因此，小学生学习几何需要更多的经验，通过观察比较，获得对图形丰富的感性认识，从而较好地把握图形的本质特征。
如，教学“认识梯形”时，教师设计了如下的一组图形（如图7），让学生辨认。
图7
这样通过位置变换，让学生认识在不同位置状态下的梯形，学生对梯形的认识就会全面而深刻。
又如，在学生学完“长方形和正方形的周长”后，设计如下一道习题：
两个完全一样的长方形，长4厘米，宽3厘米。如果将这两个图形拼成一个新的大长方形，这个新的大长方形的周长至少是多少厘米？
学生的认识比较肤浅，初做这道题，全班同学几乎“全军覆没”，他们都是先求出一个长方形的周长，然后再将这个周长乘2就是大长方形的周长。为此，教师利用课件展示如下两种拼的结果（如图8、图9）：
图8
图9
在这两个直观图形的参照下，学生经过思考、交流、讨论，最后算出图8的周长是22厘米，图9的周长是20厘米。在此基础上，教师再让学生说说为什么这两个大长方形周长会不一样。学生通过观察知道，图8减少了两条宽，而图9减少了两条长，因此周长不一样。至此，学生也就明白“至少”的含义。
上述这两个例子带给我们的启示是：想让学生牢固把握几何图形的内涵，就应当重感知、重体验、重理解，用图形的直观帮助学生理解图形的本质。
四、以形译联，让抽象的联变直观
尽管不同数学知识的内涵不同，但它们之间却并非毫无联系。不要把几何直观简单地等同于能用图形描述问题的技能，几何直观更为深远的意义表现为能够借助图形去分析知识之间的联系，从而让学生建立正确的、稳固的知识结构。因此，当学生遇到一些难以厘清的相关概念之间的关系时，教师要适时以形译联，让抽象的知识变得更直观。如，教学“长方形和正方形的关系”时，学生常会说“长方形是特殊的正方形”，究其原因是学生没有厘清两者的关系。为此，教师应引导学生一起画韦恩图（如图10）： 图10
当学生画过这韦恩图后，对两者之间的关系就记忆犹新了。
又如，在学习“平行四边形面积”时，教师引导让学生通过观察，想象沿着平行四边形的高剪下一个三角形，拼到另一侧就可转化为一个长方形（图11），然后进行对比，找到两者之间的联系，从而得出面积计算公式。
图11
这种以观察、操作等为手段得出结论的几何学习方法，就是直观几何。在小学中，无论是几何图形的特征、性质还是求积的公式，基本上都是通过这样的直观方法得到的。因为这样的方法，可以让学生较快地厘清各知识之间的联系。
五、以形译题，让抽象的题变直观
几何直观是揭示数学对象性质的有力工具，借助几何直观描述和分析数学问题的过程也是发展学生空间观念的重要途径。数学家波利亚曾这样说：“图形不仅是几何题目的对象，而且对与几何一开始没什么关系的题目，图形也是一种重要的帮手。”从一定程度上来看，直观的背景资料和几何形象能为学生创造自主思考的机会，借助几何图形，能客观描述数学问题，帮助学生更好地理解题意、分析问题，从而更好地解决问题。如，教学“解决问题的策略——倒推”中，教师出示了如下这道例题：
两杯果汁共400毫升。甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯果汁同样多。求原来两杯果汁各有多少毫升？
教学时，教师借助几何直观，通过画图帮助学生描述数学问题，理解两杯果汁容量间的变化关系（如图12）：
图12
两杯果汁，原来的容量未知，从甲杯倒入乙杯后，果汁数量发生了变化，通过直观形象的图示，让学生清晰地看到乙杯此时的数量。再通过列表摘录相关信息，学生对于求甲乙两杯果汁原来的容量就能迎刃而解。
上述环节，学生借助示意图，能充分表征问题情境，深刻理解题意，把握事件里的数学信息的内在联系，图形为学生的问题解决提供了有力的支撑。对“为什么要倒过去想”“如何倒推”这两个核心问题有了充分的体验。
又如，三年级学生要学习“同分子的分数大小比较”，这个知识相对比较抽象，学生较难理解。此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）以下几何图形（图13）的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理。学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，就可以说他们有几何直观的能力。可见，以形译题可以让抽象的题变直观。
图13
总之，越是高度抽象的数学内容，往往越需要形象、直观的模型作为其解释和支撑。对于学生的数学学习而言，几何直观是为了让他们形成生动表象，并借以形成概念、发展规律，促进他们抽象思维能力以及解决数学问题能力的提升。因此，几何直观能力的培养应贯穿于整个小学数学学习的全过程，通过对学生几何直观能力的培养，使学生学会数学的一种思考和学习方式，以促进他们学习能力的提升和数学素养的发展，也为今后深入学习数学奠定坚实的基础。
◇责任编辑：徐新亮◇