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在一次同课异构活动中，老师们执教的课题是《用字母表示数》。在巩固应用阶段，老师都不约而同地在孩子们诵读经典的青蛙童谣后，用字母表示青蛙的只数与其眼睛、腿的关系。这一课中用字母表示隐含的数量关系是个重点，更是个难点。如何将数量关系的小苗牢牢地插在孩子的心田呢？如何突出重点、突破难点?我和很多听课的老师一起陷入了思考中,也让我对试教这节课充满憧憬。
……
在进行预案设计时，我想，数学中难得出现童谣，那脍炙人口的青蛙童谣还是留给孩子们在巩固练习时独自体验，作为老师不就是授人以渔嘛。于是，教学时我以孩子们在电影院常见的座位排列引入：
师：结合你在电影院的经验，看着图上的座位排列，你觉得相邻两个座位号有什么特点？
生1：从左往右，座位号在依次变小。
生2：两个座位号之间相差2。
师：你的意思是……
生2：每相邻两个座位号之间相差2。
师（欣喜）：这个发现很重要。既然每相邻两个座位号之间相差2，那乐乐一家人买三张连号的票，如果乐乐的票是n号，那爸爸的票怎么表示啊？
生齐（情不自禁）：爸爸的座位号是（n 2）。
师：那妈妈呢？
生齐（大声、自信）：妈妈的座位号是（n-2）。
师：如果爸爸的座位号是n，那乐乐、妈妈的座位号呢？
生3（小手如林）：乐乐的座位号是（n-2）。
生4：（许多孩子情不自禁跟着说）妈妈的座位号是（n-4）。
师(乐呵呵地问)：若妈妈的座位号是n，那乐乐、爸爸的座位号呢？
生（大声地齐）：乐乐的座位号是（n 2），爸爸的座位号是（n 4）。
听着孩子们响亮而自信的回答，我心花怒放，暗自得意，这隐含的数量关系在我有效地引导下，孩子们顺利掌握了。然而接下来的巩固练习，答案五花八门，让我体验了什么是冰火两重天。
生1：a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿，扑通e声跳下水。
生2：x只青蛙x张嘴，y只眼睛z条腿，扑通z声跳下水。
……
同课异构活动中五花八门的答案再次重现，这是为什么？在课中，我也是借助“电影院中的座位号”引导他们观察思考的呀？为什么孩子们课中反应灵敏而独立作业时却反应迟钝呢？我觉得茫然更是无助，解铃还需系铃人，我追问做错的孩子，一个青蛙有几张嘴？它的眼睛有几个？和嘴有什么关系？腿呢？该怎么填呢？孩子向我抱歉地吐吐舌头，纠正答案。
带着一肚子的疑问，下课后，和办公室的同事聊起了我的困惑。
“这啊，就像破茧成蝶一样，得孩子自己用劲才行！”一位前辈一语点醒了我，“现在孩子刚刚学习用字母表示数、用字母表示一个量，但用同一个字母表示一组相关联的不同的量，这样的意识他还没有建立，所以过早地揭示数量之间的关系，孩子并没有从需要中理解用同一个字母表示不同的量的必要，出现这样的错误很正常。因此，在课堂上，你要有让孩子犯错的胸怀，舍得让孩子犯错。”
于是，带着新的思考，我走进了执教的另一个班。
这一次，我不作任何铺垫，直奔主题。
师:你想怎样表示乐乐一家人的座位号？
生1：爸爸a号，乐乐b号,妈妈c号。
师：哦——还有不同的想法吗？
生2：我也觉得可以用a、b、c表示三个人的座位号，用e、f、g也行啊。
师（好奇）:能说说你是怎么想的吗？
生2：爸爸、乐乐、妈妈的座位是相邻的，字母a、b、c也是相邻的，所以就这样表示了。
师：哦，你觉得它们有个共同的特征——相邻，那你在仔细观察爸爸、乐乐、妈妈的座位号25、23、21……5、3、1，这些座位号不仅相邻，而且它们的编号有什么特点？
生2：每相邻两个座位号之间相差2。
师：那你们能从a、b、c表示的座位号中看出相邻的座位号之间相差2吗？
生（声音杂乱、参差不齐）：不能！不能！
师:那你能想个办法既用字母表示座位号，又能让大家明白相邻座位号之间相差2吗？
生3：如果用字母a表示爸爸的座位号，那乐乐的座位号是（a-2），妈妈的座位号是（a-4）。
师：你为什么这样表示呢？
生3（自信地）：因为爸爸座位号的数字比乐乐的多2，乐乐的又比妈妈的多2，用同一个字母表示就依次减2啦。
师（情不自禁伸出大拇指）：真棒！还有不同的表示方法吗？
生4：我用字母x表示爸爸的座位号，那乐乐的座位号是（x-2），妈妈的座位号是（x-4）。
……
师：真棒，咱们用一个字母不仅能表示出三个人的座位号，而且也能看出他们的座位号之间相差2。（停顿、挑衅的语气）若是用字母a表示妈妈的座位号，你还能表示出爸爸、乐乐的座位号吗？
生（兴奋地）：能！
生5：我用字母a表示妈妈的座位号，那乐乐的座位号是（a 2），爸爸的座位号是（a 4）。因为乐乐的座位号比妈妈多2，爸爸的座位号比妈妈多4。
师：要是字母a表示乐乐的座位号呢？
生6：我用字母a表示乐乐的座位号，那爸爸的座位号是（a 2），妈妈的座位号是（a-2）。
师：咦，字母a时而表示妈妈的座位号，时而表示爸爸的座位号，时而表示乐乐的座位号，但同学们都能用它清楚地表示另外两个座位号呢！那你们能说说在用字母表示别的座位号的时候，有什么经验和大家分享吗？
生7：要看这个座位号和用字母表示的座位号之间有什么关系，是多还是少呢？相差几呢？
生8：只要抓住这个座位号与已知座位号之间的关系！
……
课上的巩固练习依然是用字母表示青蛙童谣，答案依然是丰富多彩的，却是令人欣喜。
生1：a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿，扑通a声跳下水。
生2：x只青蛙x张嘴，2x只眼睛4x条腿，扑通x声跳下水。
……
与上节课相比，这节课在课始没有将如何用字母表示隐含的数量关系和盘托出，而是放手让学生思考，从用相邻的字母a、b、c表示相邻的座位号不能体现座位号之间的差这样的矛盾冲突入手，相机授予，逼着孩子思考怎样既用字母表示又能看出座位号之间的差，从而发现其中隐含的数量关系，并尝试用自己的方式把它们表示出来，使孩子在应用中体会同一个字母根据数量关系也可以表示不同的量，从而突破难点。
正如南京大学知名教授郑毓信所说：“我们事实上并不应将学生在学习过程中所产生的各种不同于‘标准观念’的想法看成‘错误观念’,而应正名为‘替代观念’。”所以，面对学生的“替代观念”，教师可不作过多解释，直接踢个“球”给学生，使学生在接“球”和传“球”的过程中，在同伴的提醒和教师的点拨下，经历一个自我修复、自我超越的过程，从而形成正确而鲜明的认识和观念。
……
在进行预案设计时，我想，数学中难得出现童谣，那脍炙人口的青蛙童谣还是留给孩子们在巩固练习时独自体验，作为老师不就是授人以渔嘛。于是，教学时我以孩子们在电影院常见的座位排列引入：
师：结合你在电影院的经验，看着图上的座位排列，你觉得相邻两个座位号有什么特点？
生1：从左往右，座位号在依次变小。
生2：两个座位号之间相差2。
师：你的意思是……
生2：每相邻两个座位号之间相差2。
师（欣喜）：这个发现很重要。既然每相邻两个座位号之间相差2，那乐乐一家人买三张连号的票，如果乐乐的票是n号，那爸爸的票怎么表示啊？
生齐（情不自禁）：爸爸的座位号是（n 2）。
师：那妈妈呢？
生齐（大声、自信）：妈妈的座位号是（n-2）。
师：如果爸爸的座位号是n，那乐乐、妈妈的座位号呢？
生3（小手如林）：乐乐的座位号是（n-2）。
生4：（许多孩子情不自禁跟着说）妈妈的座位号是（n-4）。
师(乐呵呵地问)：若妈妈的座位号是n，那乐乐、爸爸的座位号呢？
生（大声地齐）：乐乐的座位号是（n 2），爸爸的座位号是（n 4）。
听着孩子们响亮而自信的回答，我心花怒放，暗自得意，这隐含的数量关系在我有效地引导下，孩子们顺利掌握了。然而接下来的巩固练习，答案五花八门，让我体验了什么是冰火两重天。
生1：a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿，扑通e声跳下水。
生2：x只青蛙x张嘴，y只眼睛z条腿，扑通z声跳下水。
……
同课异构活动中五花八门的答案再次重现，这是为什么？在课中，我也是借助“电影院中的座位号”引导他们观察思考的呀？为什么孩子们课中反应灵敏而独立作业时却反应迟钝呢？我觉得茫然更是无助，解铃还需系铃人，我追问做错的孩子，一个青蛙有几张嘴？它的眼睛有几个？和嘴有什么关系？腿呢？该怎么填呢？孩子向我抱歉地吐吐舌头，纠正答案。
带着一肚子的疑问，下课后，和办公室的同事聊起了我的困惑。
“这啊，就像破茧成蝶一样，得孩子自己用劲才行！”一位前辈一语点醒了我，“现在孩子刚刚学习用字母表示数、用字母表示一个量，但用同一个字母表示一组相关联的不同的量，这样的意识他还没有建立，所以过早地揭示数量之间的关系，孩子并没有从需要中理解用同一个字母表示不同的量的必要，出现这样的错误很正常。因此，在课堂上，你要有让孩子犯错的胸怀，舍得让孩子犯错。”
于是，带着新的思考，我走进了执教的另一个班。
这一次，我不作任何铺垫，直奔主题。
师:你想怎样表示乐乐一家人的座位号？
生1：爸爸a号，乐乐b号,妈妈c号。
师：哦——还有不同的想法吗？
生2：我也觉得可以用a、b、c表示三个人的座位号，用e、f、g也行啊。
师（好奇）:能说说你是怎么想的吗？
生2：爸爸、乐乐、妈妈的座位是相邻的，字母a、b、c也是相邻的，所以就这样表示了。
师：哦，你觉得它们有个共同的特征——相邻，那你在仔细观察爸爸、乐乐、妈妈的座位号25、23、21……5、3、1，这些座位号不仅相邻，而且它们的编号有什么特点？
生2：每相邻两个座位号之间相差2。
师：那你们能从a、b、c表示的座位号中看出相邻的座位号之间相差2吗？
生（声音杂乱、参差不齐）：不能！不能！
师:那你能想个办法既用字母表示座位号，又能让大家明白相邻座位号之间相差2吗？
生3：如果用字母a表示爸爸的座位号，那乐乐的座位号是（a-2），妈妈的座位号是（a-4）。
师：你为什么这样表示呢？
生3（自信地）：因为爸爸座位号的数字比乐乐的多2，乐乐的又比妈妈的多2，用同一个字母表示就依次减2啦。
师（情不自禁伸出大拇指）：真棒！还有不同的表示方法吗？
生4：我用字母x表示爸爸的座位号，那乐乐的座位号是（x-2），妈妈的座位号是（x-4）。
……
师：真棒，咱们用一个字母不仅能表示出三个人的座位号，而且也能看出他们的座位号之间相差2。（停顿、挑衅的语气）若是用字母a表示妈妈的座位号，你还能表示出爸爸、乐乐的座位号吗？
生（兴奋地）：能！
生5：我用字母a表示妈妈的座位号，那乐乐的座位号是（a 2），爸爸的座位号是（a 4）。因为乐乐的座位号比妈妈多2，爸爸的座位号比妈妈多4。
师：要是字母a表示乐乐的座位号呢？
生6：我用字母a表示乐乐的座位号，那爸爸的座位号是（a 2），妈妈的座位号是（a-2）。
师：咦，字母a时而表示妈妈的座位号，时而表示爸爸的座位号，时而表示乐乐的座位号，但同学们都能用它清楚地表示另外两个座位号呢！那你们能说说在用字母表示别的座位号的时候，有什么经验和大家分享吗？
生7：要看这个座位号和用字母表示的座位号之间有什么关系，是多还是少呢？相差几呢？
生8：只要抓住这个座位号与已知座位号之间的关系！
……
课上的巩固练习依然是用字母表示青蛙童谣，答案依然是丰富多彩的，却是令人欣喜。
生1：a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿，扑通a声跳下水。
生2：x只青蛙x张嘴，2x只眼睛4x条腿，扑通x声跳下水。
……
与上节课相比，这节课在课始没有将如何用字母表示隐含的数量关系和盘托出，而是放手让学生思考，从用相邻的字母a、b、c表示相邻的座位号不能体现座位号之间的差这样的矛盾冲突入手，相机授予，逼着孩子思考怎样既用字母表示又能看出座位号之间的差，从而发现其中隐含的数量关系，并尝试用自己的方式把它们表示出来，使孩子在应用中体会同一个字母根据数量关系也可以表示不同的量，从而突破难点。
正如南京大学知名教授郑毓信所说：“我们事实上并不应将学生在学习过程中所产生的各种不同于‘标准观念’的想法看成‘错误观念’,而应正名为‘替代观念’。”所以，面对学生的“替代观念”，教师可不作过多解释，直接踢个“球”给学生，使学生在接“球”和传“球”的过程中，在同伴的提醒和教师的点拨下，经历一个自我修复、自我超越的过程，从而形成正确而鲜明的认识和观念。