函数在高中数学知识体系中具有核心地位，有关函数的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。在求解定义域为Ｒ或值域为Ｒ的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式的恒成立问题进行解决，而解决不等式的恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离系数法，有时还利用数形结合法。
　　1.若函数ｆ（ｘ）＝■的定义域为Ｒ，求ａ的取值范围。
　　思路点拨：函数的定义域为Ｒ，即２ｘ２２ａｘ－ａ－１≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，亦即ｘ２＋２ａｘ－ａ≥０恒成立，从而用判别式法求解。
　　解：∵函数ｆ（ｘ）＝■的定义域为Ｒ
　　∴２ｘ２２ａｘ－ａ－１≥０对ｘ∈Ｒ恒成立
　　即ｘ２＋２ａｘ－ａ≥０恒成立
　　∴△＝（２ａ）２＋４ａ≤０
　　∴－１≤ａ≤０
　　变式训练①：若函数ｆ（ｘ）＝■的定义域为Ｒ，求ａ的取值范围。
　　解：∵函数ｆ（ｘ）＝■的定义域为Ｒ
　　２ａｘ２＋２ｘ＋ａ－１≥０对ｘ∈Ｒ恒成立
　　即ａｘ２＋２ｘ＋ａ≥０恒成立
　　∴ａ＞０△＝２２－４ａ２≤０
　　∴ａ≥１
　　变式训练②：若函数ｆ（ｘ）＝■的定义域为Ｒ，求ａ的取值范围。
　　解：∵函数ｆ（ｘ）＝■的定义域为Ｒ
　　∴２ａｘ２＋ａｘ＋２－１≥０对ｘ∈Ｒ恒成立
　　即ａｘ２＋ａｘ＋２≥０恒成立
　　（１）ａ＝０时，２≥０∴ａ＝０成立
　　（２）ａ≠０时， ａ＞０△＝２２－８ａ≤０∴０＜ａ≤８
　　由（１），（２）可知，０≤ａ≤８
　　2.已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｂｘ，且ｆ（ｘ）≤１在区间（０，１）恒成立，求ｂ的取值范围。
　　思路点拨：原命题等价于－１≤ｘ２＋ｂｘ≤１在区间（０，１）恒成立，即ｂ≤■－ｘ且ｂ≥－■－ｘ在区间（０，１）恒成立，转化成求■－ｘ的最小值和－■－的最大值。
　　解：∵ｆ（ｘ）≤１在区间（０，１）恒成立
　　－１≤ｘ２＋ｂｘ≤１在区间（０，１）恒成立
　　即ｂ≤■－ｘ且ｂ≥－■－ｘ在区间（０，１）恒成立
　　 （１）∵ｆ（ｘ）＝■和ｆ（ｘ）＝－ｘ在区间（０，１）都是减函数
　　ｆ（ｘ）＝■－ｘ在区间（０，１）单调递减
　　当ｘ＝１时，（■－ｘ）ｍｎ＝０
　　（２）∵ｘ∈（０，１）
　　∴ｘ＞０，■＞０
　　∴ｘ＋■≥２■ｘ＝２
　　∴■－ｘ＝（■＋ｘ）≤－２
　　即（■－ｘ）ｍａｘ＝－２
　　由（１），（２）可知－２≤ｂ≤０，
　　变式训练：已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｘ，且ｆ（ｘ）≤１在区间（０，１）恒成立，求ｂ的取值范围。
　　解：∵ｆ（ｘ）≤１在区间（０，１）恒成立
　　－１≤ａｘ２＋ｘ≤１在区间（０，１）恒成立－１－ｘ≤ａｘ２≤１－ｘ
　　（１）当ｘ＝０时，－１≤０≤１恒成立；
　　（２）当ｘ∈（０，１），同例2可解得－２≤ａ≤０。
　　
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