高次奇点的定性分析与指数计算

来源 :新疆师范大学 | 被引量 : 0次 | 上传用户:cmfu2008
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对于给定微分方程组 (1) 其中,X(x,y),Y(x,y)∈C~0(D),区域D(?)R~2。 若(1)是线性方程,其奇点附近轨线的结构已完全弄清楚。若(1)是非线性方程,研究非线性奇点附近轨线的定性结构,主要办法是讨论沿着特定方向o(U(θ)=0)是否有轨线进入奇点以及有多少条轨线进入奇点等。在高次奇点附近的轨线行为非常复杂,但若轨线当t→+∞或t→-∞时趋向于奇点,则此轨线必沿着某确定的方向趋向于奇点。那么,有多少条轨线沿特定的方向趋向于奇点呢?本文利用Brior-Bouquet变换y=ux给出了几个结论。并用这些结论分析了一些例题。 本文还分析了变换y=ux的几何意义,并利用变换y=ux,把x,y平面中的孤立高次奇点(0,0)分离到x,u平面的u轴上去,利用向量场旋转度理论证明了x,y平面中奇点(0,0)的指数等于x,u平面中的分离奇点指数之和。 奇点指数是刻画奇点拓扑性质的一个量,它是一个整数。本文利用Cauchy-指标的代数工具就孤立高次奇点,临界奇点分别给出了一组指数计算公式。这是对文[2]中计算公式的补充,尤其是对临界奇点指数计算起到了简化作用,也使平面解析向量场的奇点指数计算问题得到完美解决。
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