【摘 要】
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本文研究了非线性偏微分方程的分支理论及其应用.主要包含两方面:一是以动力系统,Conley指标理论为工具研究局部半流与非线性发展方程的全局动态分支理论及其应用;二是以变分方法,静态分支理论为工具研究耦合非线性Schr（?）dinger方程组的正解的性质和结构.在全局动态分支理论及其应用方面,我们首先从不变集分支的角度对完备度量空间上的局部半流建立了两个新的全局动态分支定理.这两个定理的条件易验证且
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本文研究了非线性偏微分方程的分支理论及其应用.主要包含两方面:一是以动力系统,Conley指标理论为工具研究局部半流与非线性发展方程的全局动态分支理论及其应用;二是以变分方法,静态分支理论为工具研究耦合非线性Schr（?）dinger方程组的正解的性质和结构.在全局动态分支理论及其应用方面,我们首先从不变集分支的角度对完备度量空间上的局部半流建立了两个新的全局动态分支定理.这两个定理的条件易验证且自然,因而它们可以有效地处理非线性发展方程中的动态分支问题.特别地,其中一个定理给出了全局动态分支是无界的充分条件.接下来,对非线性发展方程应用这些全局动态分支定理,无须假设“跨奇数重特征值”的条件,我们建立了Rabinowitz的全局分支定理的动态版本.并且,对一类特殊但重要的非线性发展方程,我们证明了其全局动态分支一定是无界的.此外,应用局部半流的全局动态分支定理,我们讨论了一类椭圆问题,得到了一些全局的结果.对耦合非线性Schr（?）dinger方程组的研究分为两部分.首先,我们研究了一类带Neumann边值条件的耦合非线性Schr（?）dinger方程组的正解的局部和全局分支结构.我们的结果表明,与相应的Dirichlet系统相比,Neumann系统有更丰富的分支结构.原因是Neumann系统有许多不同的同步解曲线,而这也给研究Neumann系统的全局分支带来了本质困难.我们需要采取新的技术证明源自不同的同步解曲线的全局分支是相互独立的.当空间是一维时,我们对系统的全局分支结构给出了详细的刻画.粗略地讲,Neumann系统有多个“分支树”结构.而相应的Dirichlet系统只有唯一的“分支树”结构.其次,我们研究了一些带有线性耦合项和非线性耦合项的Schr（?）dinger系统的正解的唯一性.在几种情形下,我们利用系统的局部及全局分支信息证明了新的正解的唯一性结果,特别是解决了系统完全对称时的一种退化情形,从而补充了文献中的相关结果.
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