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在这篇文章里,我们主要讨论了几种洞穴类型的散射和反散射问题以及数值计算,电磁散射和反散射问题在数学物理问题中很重要的一个问题.正散射问题是通过照射到一个洞穴的入射场和描述波的偏微分方程来确定散射场,相关文献见[24][29][44][49][54][55][56][57][83][87][89]etc.反散射问题是通过已知散射场来重构偏微分方程或者重构散射区域,相关文献见[6][30][31][35][66][82][84]etc..近些年来,特殊性质介质中的电磁散射和反散射问题得到大家的关注.手性介质由于在光学和电磁学上有一些特性以及其在其他领域中的潜在应用开始受到关注Ammari, Nedelec. Gerlach, Amman, G.Bao, Athanasiadis and D.Y.Zhang, F.M.Ma, e.t.[1][2][3][4][5][62][93][94][25][26][27][28]在这方面做了很多研究工作.在文章里,讨论了电磁散射与反散射问题以及相应的数值方法,并且在文章中对一个长方形的洞穴散射问题给出了一个快速数值计算方法,以及相应的算例.我们也对多层的长方形的洞穴散射问题给出了数值计算方法.此外,文章还在理论上提出了反散射问题中重构洞穴形状的方法.所做工作如下：1.1. TM极化问题1.情形1（见图4）问题1.（求解u1和us的逼近）.已知Ω0={（x,y）|y>0}.在Ω0中的总场u0有如下形式u0（x,y）=ui（x,y）+ur（x,y）+us（x,y）. （1）这里ui（x,y）是入射波ui（x,y）=ei（αx-βy）,（2） ur（x,y）是反射波ur（x,y）=-ei（αx+βy）,（3） us（x,y）是散射场,满足下面的Helmholtz方程△us（x,y）+k02us（x,y）=0,inΩ0 （4）以及Sommerfeld辐射条件其中κ0是波数,α=k0 sin（θ）,β=k0cos（θ）,θ是入射角度.在各向都是相同的.在y=0处的边界条件如下：其中u1是Ω1中的总场.在Ω0中,根据定义,我们有△us+k02us=0. （7）令u（ξ,y）=（?）xus（x,y）, （8）（?）x是关于x的傅里叶变换.通过FT,我们有当参数ξ固定时,是一个关于y的常系数偏微分方程,我们可以得到再由辐射条件可以知道C2（ξ）=0,所以u（ξ,0）=（?）xus（x,0）,-∞<x<+∞.（11）我们知道us（x,0）=u1（x,0）,（x,0）∈Γ.令我们可以得到C1（ξ）=（?）xφ=φ（ξ） （13）那么,u（ξ,y）=φ（ξ）ei(（?）,（14）通过傅里叶反变换,我们得到在另一方面,我们已知的是在Ω0中我们有,u0（x,y）=ui（x,y）+ur（x,y）+us（x,y）,所以令,那么以及可以得到如下定义扩张算子E0并取：φ（x）=E0u1（x,0）. （22）我们可以得到方程：如果我们令以及方程（24）和（25）是求解开口洞穴散射问题的方程.从fig.4.中,我们有Γ0={（x,0）,0<x<L},Ω0={（x,y）,y>0},Ω1={（x,y）,0<x<L1,-H1<y<0},Γc={（x,0）,x<0,x>L},现在,假设洞穴为长方形（Ω1）（Fig4.）Ω1={（x,y）|0<x<L,-H<y<0}.那么总场u0跟Ω0中完全一致u0=ul+ur+us,u1满足Helmholtz方程△u1（x,y）+k12u1（x,y）=0 （26）在TM极化情况下,电场总场E→=uz=（0.0,u）.对于（j=0,1）,令kj=ω√∈jμj分别为地上和地下的波数,同样有：以及辐射条件根据模式匹配方法,我们可以在洞穴内将场进行展开：其中和.并且根据和其中我们可以得到关于ul和us的逼近可以得到数值解在第三章第2节给出（3.2.1-3.2.4）.2.情形2.（见fig.5）问题2.（求解u2和us的逼近）.假设u0.u1.u：是区域Ω0,Ω1和Ω：中的总场他们满足Helmholtz方程△u0+k20u0=0, inΩ0,△u1+k21u1=0,inΩ1和△u2+k22u2=0, inΩ2.和边界连续条件我们同样有u0=ui+ur+us,和Ω2={（x,y）|0<x<L2,-（H1+H2）<y<-H1,0<L2<L1},Γ1={（x,H1）|0<x<L2}不难发现和其中同问题1中的洞穴一样,我们有和进一步,我们有其中我们已经知道ul,使得通过连续性条件,我们知道这里我们使用了如下定义的扩张算子E10,可以看出以及进一步,通过,和同样我们可以得到关于C+,C-,α的方程组如果我们可以计算出较大的方程组（48）,中的C+,C-A:Mα,我们就可以重构出u1,u2进而解出,us对于数值运算,我们必须对上述方程组进行截断.数值解在第三章第二节给出（3.2.5-3.2.9）.2. TE极化问题情形1.（见Fig.4）.问题3.（构造u1和us的逼近）.给定Ω0={（x,y）|y<0}.onΩ0中,总场u有如下形式u0（x,y）=ui（x,y）+ur（x,y）+us（x,y）. （49）这里ui（x,y）是入射波ui（x,y）=ei（αx-βy）, （50） ur（x,y）是反射波ur（x,y）=ei（αx+βy）, （51）并且us（x,y）是散射场,满足下面的Helmholtz方程通过关于x做傅里叶变换xus（ξ,y）=Fxus（x,y）, （53）我们有定义γ（ξ）=√k20-ξ2,我们有us（ξ,y）=C1（ξ）e（?）γ0y+C2（ξ）e-iγ0y, （55）在辐射条件下,得到u0（ξ,y）=C1（ξ）eγ0（ξ）y，（56）在表面Γ0,我们有u0=u1.以及所以进一步即定义那么这意味着使得在Ω0中,令fig.4.中,我们知道Γ0={（x,0）,0<x<L},Ω0={（x,y）,y>0},Ω1={（x,y）,0<x<L,-H<y<0},ΓC={（x,0）,x<0,x>L},跟TM极化情况类似,我们有其中为了求解Gn,我们必须研究Γ0上的u0和u1的性质在Γ0上,我们有由于对y=0,我们得到从（29）我们知道为其中以及从u1（x,0）=us（x,0）+ui（x,0）+ur（x,0）,and put g（x）=ui（x,0）+ur（x,0）我们可以得到从（29）中,可以看出由我们计算dmn,其中和可得3.反问题的数值计算方法问题4.反散射问题.已知：Π（?）2-1（eiγ0（ξ）h（?）xφ（x））=d0（x）,-b≤x≤b（74）Π（?）s-1（iγ0（ξ）eiγ0（ξ）h（?）xφ（x））=d1（x）,-b≤x≤b. （75）我们可以得到φ（x）=us（x,0）,-∞<x<∞.进一步,设S0=suppφ（x） （76）A=infS0,B=sup S0我们可以得到洞穴开口的位置,即a=A,L=B-A.这一步之后,为了构造洞穴的形状,我们只需要找到H.在第三章结果的基础上,对给出L和H后,,我们就可以得到,Gn,（n=1,2,N）的逼近.于是Cn依赖于H,i.e.Cn=Cn（H）令并引入泛函其中X=C1（H）sh（γ1H）,C2（H）sh（γ2H）……,CN（H）sh（γNH）T,Z=（z1,Z2…,zN）T我们通过最小化（?）（H）来确定H.