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自2009年Buckdahn，Djehiche，Li和Peng[1]率先引入平均场倒向随机微分方程(简记为，MFBSDEs)，这类方程就倍受关注。他们研究了MFBSDEs和相应偏微分方程(简记为，PDEs)粘性解的关系。 本文主要研究的是一类新型的平均场PDEs的弱解—Sobolev解。与粘性解不同的是Sobolev解的存在唯一性不需要依赖于比较定理的结果，故方程的系数可以依赖于(z)。本文主要研究的方程形式如下: 平均场SDE:Xt,xs=x+∫s t b（r，E[G（X0,x0 r，）]，Xt，x r)dr+∫s tσ（r，E[θ（X0,x0 r）]，Xt，x r）dWr，(1)平均场BSDE:Yt，x s=Φ（E[κ（X0,x0 T）]，Xt,x T）-∫T s Zt，x r dWr+∫T s f(r，E[Ψ(X0，x0 r)]，Xt，x r,E[Λ(Y0,x0 r）]，Yt,x r，E[Γ（Z0，x0 r）]，Zt，x r）dr，(2)以及新型平均场PDE:{(a)/(a)t u(t,x)+(L)u(t，x)+(f)（t，x，u，Dσu）=0u(T,x)=Φ（E[κ（X0,x0 T）]，x），(t，x)∈[0，T]×Rn.(3) 第一部分:主要的假设条件有: 假设3.1: (A1)(i)函数b和σ关于(x)，x满足Lipschitz条件。 (ii) b(·，0，0)和σ(·，0，0)是F-循序可测连续函数且存在常数l＞0，使得对任意的0≤t≤T，(x)，x∈Rd，|b(t，(x)，x)|+|σ(t，(x)，x)|≤l(1+|x|），a.s. (A2)(i)Φ是F(x)B(Rd)-可测随机变量，f（·，(x)，x，(y)，y，(z)，z）是F-适应的可测过程，对任意的（(x)，x，(y)，y，(z)，z）∈Rd×Rd×Rn×Rn×Rn×d×Rn×d成立。且f(t，(x)，x,0，0,0，0)∈H2F（0,T;Rn）。 (ii)f关于(x)，x，(y)，y，(z)，z满足Lipschitz条件。 (iii)f和Φ满足线性增长条件，也就是说，存在c＞0，使得a.s.对任意的(x)，x∈Rd，|f(t，(x)，x，0，0，0，0)|+|Φ((x)，x)|≤c(1+|(x)|+|x|). (iv)G，θ，Ψ，κ:Rd→Rd.Λ:Rd→Rd，Γ:Rn×d→Rn×d的Lipschitz连续函数。 (A3)给定（(x)，(y)，(z)）∈Rd×Rn×Rn×d，对任意的s∈[0，T]，(x，y，z)→f(s，(x)，x，(y)，y，(z)，z)∈C,3,3b(Rd×Rn×Rn×d，Rn). (A4)b∈C1,3,3 b（[0，T]×Rd×Rd，Rd）且σ∈C1,3,3 b（[0，T]×Rd×Rd，Rd×d）。 同时，我们给出值函数的定义为u(t，x)=Yt,x t。那么，在假设3.1下，平均场PDE (3)存在唯一解，且满足以下关系式Yt，x s=u(s，Xt,x s)，Zt,x s=Dxu（s，Xt,x s）σ（s，E[θ(X0，x0 s)]，Xt,x s). 借助随机逆流、等价范数及测试函数，最终我们可以得到在假设3.1-(A2)，(A4)下，u(t，x)=Yt,x t是平均场PDE(3)的唯一Sobolev解。 第二部分:第一，我们研究的是以下假设4.1条件成立的情况下，带全局单调系数的MFBSDE(2)解的存在唯一性定理。 假设4.1: (H1)对任意固定的(ω，t），f(ω，t，.，.，.，.)连续; (H2)存在一过程(f)t∈H2 F(0，T;R)和一个常数L＞0，使得|f(t，(y)，(z)，y，z)|≤(f)t+L(|(y)|+|(z)|+|y|+|z|). (H3)存在常数λ1，λ2∈R，使得对任意的t∈[0，T，yi，(y)i∈Rn，z，(z)∈Rn×d(i=1，2)，(y1-y2)(f(t，(y)1，y1，(z)，z)-f(t，(y)2，y2，(z)，z)）≤λ1(y1-y2)((y)1-(y)2)+λ2|y1-y2|2. (H4)存在L＞0，使得P-a.s.对任意的t∈[0，T]，y，y∈Rn，zi，(z)i∈Rn×d(i=1，2)，|f(t，(y)，y，(z)1，z1)-f(t，(y)，y，(z)2，z2)|2≤L（|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2）. 第二，我们研究的是带局部单调系数的MFBSDE(2)解的存在性和唯一性，假定如下条件成立， 假设4.2: (H2)存在L＞0和0≤γ≤1，使得|f(t，(y)，(z)，y，z)|≤L（1+|(y)|γ+|(z)|γ+|y|γ+|z|γ）. (H3)对任意的N∈N，存在常数λN，(λ)N∈R，使得对任意的t∈[0，T]，yi，(y)i∈Rn，z,(z)∈Rn×d满足|yi|，|(y)i|，|z|，|(z)|≤N(i=1，2)，有(y1-y2)(f(t,(y)1，y1，(z)，z)-f(t，(y)2，y2，(z)，z)）≤λN（y1-y2）（(y)1-(y)2）+(λ)N|y1-y2|2. (H4)对任意的N∈N，存在LN＞0，使得P-a.s.对任意的t∈[0，T]，y，(y)∈Rn，zi，(z)i∈Rn×d满足|yi|，|(y)i|，|z|，|(z)|≤N(i=1，2)，成立|f（t，(y)，y，(z)1，z1）-f(t，(y)，y，(z)2，z2)|2≤LN（|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2）. 那么，我们可以得到在假设4.1-(H1)和假设4.2成立的情况下，且满足1+ exp(2L+2|λN|+2(λ)+N+2LNθ-1+2)/N2(1-γ)→0，当N→∞时，(4) 其中θ是一个任意固定的常数，使得0＜θ＜1-2α。带局部单调系数的MFBSDE(2)有唯一解(Y，Z)。 第三:在前面的结论成立的情形下，我们可以开始研究相应平均场PDE(3)的Sobolev解的存在唯一性。首先，我们可以得到在以下假设下: 假设4.3: (B1)b，σ满足假设3.1-(A1)，(A4)。 (B2)f，Φ满足假设3.1-(A2)-(i)(iii)，以及假设3.1-(A2)-(iv)成立，Φ∈L2(Rd,ρ(x)dx)。 (B3)对任意的0≤t≤T，(x)1，(x)2，x1，x2∈Rn，(y)，(y)1，(y)2，y，y1，y2∈Rn，(z)，(z)1,(z)2，z，z1，z2∈Rn×d，存在C＞0，λ1，λ2∈R，使得|Φ（(x)1，x1）-Φ（(x)2，x2）|2+|f（t，(x)1，x1，(y)，y，(z)1，z1）-f(t，(x)2，x2，(y)，y，(z)2，z2)|2≤C(|(x)1-(x)2|2+|x1-x2|2+|(z)1-(z)|2+|z1-z2|2).(y1-y2)(f(t，(x)1，x1，(y)1，y1，(z)，z)-f(t，(x)2，x2，(y)2，y2，(z)，z)）≤λ1((y)1-(y)2)(y1-y2)+λ2|y1-y2|2. (B4)|f(t，(x)，x，(y)，y，(z)，z)|≤|f(t，(x)，x，0，0，0，0)|+K(|(y)|+|y|+|(z)|+|z|)，f(t，(x)，x，0，0，0，0)∈L2(Rd，ρ(x)dx)且满足线性增长。 值函数u(t，x):=Yt,x t是带全局单调系数的平均场PDE(3)的唯一Sobolev解。 接着我们也可以得到在局部单调性的假设下平均场PDE的Sobolev解的存在唯一性定理的结论。相应的局部单调性假设，如下: 假设4.4: (B3)对任意的N∈N，存在LN＞0，λN，(λ)N∈R，使得对(x)1，x1，(x)2，x2∈Rd，(y)1,y1，(y)2，y2∈Rn，(z)1，z1，(z)2，z2∈Rn×d，满足|(y)1|，|y1|，|(y)2|，|y2|，|(z)1|，|z1|，|(z)2|，|z2|≤N，成立|Φ（(x)1，x1）-Φ（(x)2，x2）|2+|f(t，(x)1，x1,(y)1，y1，(z)1，z1)-f(t，(x)2，x2，(y)1，y1,(z)2，z2)|2≤LN(|(x)1-(x)2|2+|x1-x2|2+|(z)1-(z)2|2+|z1-z2|2)，（y1-y2）(f(t，(x)1，x1，(y)1，y1，(z)1，z1)-f(t，(x)1，x1，(y)2，y2，(z)1，z1)）≤λN(y1-y2)((y)1-(y)2)+(λ)N|y1-y2|2. (B4)存在K＞0和0≤γ≤1，使得|f（t，(x)，x，(y)，y，(z)，z）|≤K（1+|(y)|γ+|(z)|γ+|y|γ+|z|γ），对任意的t，(x)，x，(y)，y，(z)，z 于是，我们就可以得到在假设4.3-(B1)，(B2)，假设4.4和(4)式成立的条件下，带局部单调系数的平均场PDE(3)式存在唯一的Sobolev解。