随着计算机技术的发展,物理学、生物学、经济学、医学、心理学和人口问题等诸多科学领域中建立了比较准确的数学模型。数学模型包括时滞微分系统、微分差分系统、偏微分系统和常微分系统等多种非线性微分系统。时滞微分系统一般分为滞后型时滞微分系统;超前型时滞微分系统;混合型时滞微分系统和中立型时滞微分系统。数学模型的求解与稳定性问题的研究,对于解释数学模型的理论意义与实际意义具有重要的价值。本文基于前人获得的成果,给出辅助方程与函数变换相结合的方法,借助符号计算系统Mathematica(或Maple),通过几个步骤,研究了几种非线性微分系统的求解、相图分析与稳定性等问题,获得了新结论。一、研究了一种带强迫项的混合型多时滞微分系统的求解与稳定问题。步骤1.给出双曲(三角)函数型辅助方程的精确解。步骤2.利用双曲函数与三角函数的性质,选择一种带强迫项的混合型多时滞微分系统的形式解。步骤3.通过双曲(三角)函数型辅助方程与形式解,将带强迫项的混合型多时滞微分系统的求解问题转化为非线性超定微分方程组的求解问题。步骤4.借助符号计算系统Mathematica求出该非线性超定微分方程组的解,并构造带强迫项的混合型多时滞微分系统的精确解。步骤5.用符号计算系统Mathematica来分析了解的稳定性。二、利用李雅普诺夫方法,分析了两种非线性微分方程的奇点分类、相图分析、稳定性和求解问题。首先,通过两种函数变换,把广义修正的Dullin-Gottwald-Holm(D-G-H)方程和Degasper is-Procesi(D-P)方程化为常微分方程组。在此基础上,进行如下两项工作。1.利用动力学方法,分析了两种非线性微分方程的奇点分类、相图分析和稳定性问题。2.利用首次积分与辅助方程相结合的方法,研究了两种非线性微分方程的求解问题。步骤1.用首次积分,将广义修正的D-G-H方程和D-P方程的求解问题化为可求解的几种非线性常微分方程。步骤2.利用几种非线性常微分方程的Backlund变换等相关结论,构造了两种非线性微分方程的由Riemannθ函数、Jacobi椭圆函数、双曲函数和三角函数组成的无穷序列新精确解。三、用一种非线性二阶常微分方程的几种结论,研究了两种具任意次非线性项发展方程的求解与稳定性问题。步骤1.利用函数变换与首次积分相结合的方法,给出了一种非线性二阶常微分方程的新解、Backlund变换和解的非线性叠加公式。步骤2.通过函数变换,将广义Camassa-Holm方程和广义Fitzhugh-Nagumo方程的求解问题转化为非线性常微分方程的求解问题。步骤3.通过选择非线性常微分方程的形式解和一种非线性二阶常微分方程,将非线性常微分方程的求解问题化为非线性代数方程组的求解问题。步骤4.借助符号计算系统Mathematica,求出非线性代数方程组的解。步骤5.根据步骤1和步骤4的结论,构造了广义Camassa-Holm方程和广义Fitzhugh-Nagumo方程的由Jacobi椭圆函数、Riemannθ函数、双曲函数、三角函数和有理函数组成的多种无穷序列新解。这些解包括光滑孤立子解、尖锋孤立子解和紧孤立子解。步骤6.用符号计算系统Mathematica,分析了解的性质。