本文主要介绍了一种基于完全匹配层，解决美式期权定价的有限差分法，并将其应用于Black-Scholes模型和不变方差弹性(CEV)模型中。众所周知，美式期权是一类应用广泛的期权，它具有可以提前实施的性质。所以，美式期权相较于欧式期权多了一条最佳实施边界。并且最佳实施边界为一条未知的曲线，因此求解美式期权的定价问题较为困难。实质上，美式期权定价问题是定义在一个半无穷区域上的自由边界问题。求解该问题的关键在于如何求解自由边界以及如何对半无穷求解区域进行截断。本文首先利用Front-Fixing方法，将未知的自由边界转化已知的、规则的边界；其次，利用完全匹配层(PML)方法，对半无穷求解区域进行截断；最后，由于处理后的方程中包含未知的、且与自由边界的相关项，在数值求解时，本文采用有限差分法和Newton迭代法耦合求解在上述两种模型下的自由边界问题。进而，得到期权价格和最佳实施边界的数值逼近结果。并在理论上，我们给出了本文方法的非负性结果。本文所采用的方法是一种快速且高精度的数值方法，具有理论意义和实际应用价值。数值实验证了本文方法的有效性。随着时代的发展，各类期权也在不断演变，而关于美式期权及其变型问题的理论研究还在继续，本文所提出的数值方法的延拓性还不得而知，我们将继续在该领域做出努力。