期权定价是期权合约设计中的核心问题,而经典的Black-Scholes定价公式隐含的一个重要假设是卖空交易不受约束,但考虑卖空受约束下的期权定价问题则需要研究hard-to-borrow股票模型。由于hard-to-borrow模型下一般没有解析的期权定价公式,因此需要借助数值方法来研究期权的价值偏微分方程。本文首先考虑hard-to-borrow模型下的欧式期权定价问题,然后分别考虑模型的状态转移情形和跳-扩散情形,并重点研究这些情形下的期权定价算法和收敛性问题。在模型下的欧式期权定价方面,由于价值偏微分方程含有的空间延迟项对定价算法的收敛性和计算精度具有重要影响,本文提出一种不含固定截断误差项的网格依赖泰勒展式以近似空间延迟项,然后在此基础上分别研究价值偏微分方程的Crank-Nicolson差分算法和算子分裂交替方向差分算法,并在理论上严格地证明Crank-Nicolson差分算法的收敛性。数值结果表明,本文的研究不仅提高了差分算法的计算精度,而且还实现了最优收敛阶。在状态转移模型方面,价值偏微分方程组具有三个显著的数学特征:关于各个状态耦合、带空间延迟项和一个边界条件为另一个偏微分方程组初-边值问题的解,因此这对定价算法的设计和分析带来了困难。本文分别研究了价值偏微分方程组的Crank-Nicolson差分算法和算子分裂交替方向差分算法,并着重为Crank-Nicolson差分算法建立一套严格的收敛性分析框架,然后在该框架下证明算法关于时间和空间均具有二阶收敛性。最后利用数值算例证实了本文的收敛性分析结果。在跳-扩散模型方面,由于不能直接利用网格点的函数值对价值偏微分-积分方程的积分项进行梯形公式近似,因此本文提出一种结合网格依赖泰勒展式和梯形积分公式的积分项近似公式,然后在此基础上研究了偏微分-积分方程的隐-显式差分算法,该算法对积分项显式离散,其余项隐式离散,因此这种差分算法避免了计算过程中迭代大规模的稠密系数矩阵问题,并大幅度地节省了计算内存空间和提高了计算效率,最后利用能量分析法对隐-显式差分算法进行了严格地收敛性分析。另外,还研究了偏微分-积分方程的算子分裂交替方向差分算法。最后,还研究了欧式期权价值偏微分方程的拉普拉斯-有限差分法,具体而言:该方法首先对价值偏微分方程进行空间半离散,然后对半离散方程的时间变量进行拉普拉斯变换并得到参数化的线性方程组,最后在参数的双曲围线轨迹上迭代线性方程组以实施拉普拉斯逆变换和恢复期权定价结果,另外还对拉普拉斯-有限差分法进行了严格地收敛性分析,分析结果表明这种方法关于空间具有二阶收敛性,关于双曲围线积分节点具有指数收敛特性。此外,还将拉普拉斯-有限差分法推广到了两状态转移的欧式期权价值偏微分方程组。