【摘 要】
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20世纪90年代初,钟万勰院士为求解固体力学中出现的一些瓶颈问题,提出了辛体系方法.该方法克服了传统半逆方法求解高阶控制偏微分方程（组）的困难以及对解的形式的主观推测,扩大了解析求解的范围,在应用力学等诸多领域得到了迅速的发展.辛体系方法的数学基础依赖于无穷维Hamilton算子广义本征向量组的块状Schauder基性质,基于这一性质,便可理性求解一些尚未获解的偏微分方程（组）.本文从理论及应用两
【基金项目】
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国家自然科学基金（批准号:11861048）；
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20世纪90年代初,钟万勰院士为求解固体力学中出现的一些瓶颈问题,提出了辛体系方法.该方法克服了传统半逆方法求解高阶控制偏微分方程（组）的困难以及对解的形式的主观推测,扩大了解析求解的范围,在应用力学等诸多领域得到了迅速的发展.辛体系方法的数学基础依赖于无穷维Hamilton算子广义本征向量组的块状Schauder基性质,基于这一性质,便可理性求解一些尚未获解的偏微分方程（组）.本文从理论及应用两方面探讨了一些无界Hamilton算子广义本征向量组的块状Schauder基性质.理论方面的研究思路是给出一些抽象无界算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质的等价刻画,然后将理论结果应用到具体的力学模型中;而应用方面的研究思路是将一些具体力学方程（组）转化成与之等价的无穷维Hamilton系统,再证明相应Hamilton算子的广义本征向量组能构成某个Hilbert空间中的块状Schauder基,进而给出原问题的解析解.理论研究方面,首先考虑了一类2×2 Hamilton算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,建立了这类算子矩阵的广义本征向量组的块状Schauder基性质与由它导出的二次算子族的广义本征向量组的Schauder基性质的等价关系,进而展示了对边简支矩形薄板弯曲问题导出的一类4×4 Hamilton算子的广义本征向量组是相应Hilbert空间中的块状Schauder基;其次讨论了一类3×3算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,得到了这类算子矩阵的广义本征向量组的块状Schauder基性质与由它导出的两类算子族的广义本征向量组的Schauder基性质的等价描述,作为应用,考察了对边简支矩形中厚板问题导出的两类6×6斜对角Hamilton算子斜对角块乘积算子的广义本征向量组的块状Schauder基性质;然后探究了一类4×4 Hamilton算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,给出了这类算子矩阵的广义本征向量组是某个Hilbert空间中的块状Schauder基的充要条件,并将所得结论运用于对边简支矩形薄板的自由振动和弯曲问题.应用研究方面,我们利用辛体系方法建立了一类源于弹性力学的偏微分方程的统一求解框架,重点讨论了其在板结构中的应用.通过引入适当的状态函数,这类偏微分方程被转化成了与之等价的无穷维可分Hamilton系统,进而证明了相应斜对角Hamilton算子的广义本征向量组能构成某个Hilbert空间中的块状Schauder基,这为辛体系方法的顺利实施提供了理论保证.利用基性质定理和辛叠加技巧,得到了以这类偏微分方程为控制方程的四边固支矩形薄板弯曲、屈曲以及自由振动问题的解析解,并通过数值算例验证了解析解的正确性.值得一提的是,我们还利用辛体系方法分析了二维八次对称准晶体的平面弹性问题.在辛空间Hamilton体系的框架下,我们得到了点群8mm八次对称准晶体平面弹性问题的解析解,通过数值计算结果的对比分析,证实了解析解的正确性和收敛性.另外,我们导出了富有挑战性的Laue 15类八次对称准晶体平面弹性问题的无穷维Hamilton系统以及最终控制方程,这对用辛体系方法或半逆方法进一步分析该问题有很大的帮助.本文展示的方法对某些应用力学模型的研究以及某些偏微分方程（组）的求解具有一定的借鉴意义,相关的结论为Hamilton体系框架下的分离变量法提供了理论保证,一些新的解析解可作为验证其它数值方法的基准.
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