【摘 要】
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曲线曲面的设计与构造是计算几何、计算机辅助几何设计（Computer Aided Geomet-ric Design,简称 CAGD）、计算机辅助设计（Computer Aided Design,简称 CAD）的主要研究内容之一.基于偏微分方程（Partial Differential Equation,简称PDE）的曲面设计,由于具有重要的物理与力学背景在很多领域有很广泛的应用,近些年受到越来越
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曲线曲面的设计与构造是计算几何、计算机辅助几何设计（Computer Aided Geomet-ric Design,简称 CAGD）、计算机辅助设计（Computer Aided Design,简称 CAD）的主要研究内容之一.基于偏微分方程（Partial Differential Equation,简称PDE）的曲面设计,由于具有重要的物理与力学背景在很多领域有很广泛的应用,近些年受到越来越多的关注.在实际应用中,往往希望构造插值于给定边界条件且满足某一类PDE的曲面,这类曲面也称为PDE曲面.通过边界条件的调整,设计具有物理与力学意义的曲面可以更好满足交互性设计需求.目前,对调和曲面、双调和曲面的研究较多.调和方程与极小曲面有关,在物理领域有广泛的应用,如电磁、流体力学等.双调和方程可应用于弹性薄膜中的张力以及物理结构中的应力应变.三调和方程是一类六阶椭圆型PDE,满足三调和方程与给定边界条件的曲面称为三调和曲面.六阶PDE可应用于多片曲面建模问题,包括曲面拼接、N边孔填充、点的插值等.在流体力学中,三调和方程可以用来描述小腔内二维缓慢旋转的高粘性流体流动.三调和方程与相应边界条件提供了曲率边界条件和更多的形状控制参数,以满足实际中曲面设计要求.对三调和方程曲面的研究,不仅是对调和、双调和曲面的进一步推广,而且也丰富了高阶PDE多项式解的基础理论.本文主要研究三调和曲面的设计.对满足给定边界条件的三调和张量积型和三角Bézier曲面,分析曲面的唯一性,并给出每种条件下曲面设计的具体算法.针对一类六阶PDE方程,给出满足给定边界下的双三次B样条曲面解及其设计算法.本文的结构与主要工作如下:第一章首先对参数曲线曲面和PDE曲面的相关背景进行简单的回顾.其次介绍调和曲面与双调和曲面的研究进展,给出三调和曲面的定义以及三调和曲面为二次泛函极值曲面的详细证明.最后简要介绍了本文的主要工作.第二章中,首先给出满足三调和方程的双n次多项式解空间的维数定理以及定理证明,证明思路是将实数域上的参数转换到复数域中,得到复数域中解空间的维数.对满足三调和方程的张量积Bézier曲面,提出三种边界条件,从不同的边界条件出发,运用Bernstein基和幂基之间的转换,通过三调和方程给出控制顶点所需满足的线性系统,来确定未知控制顶点,进而得到满足每种边界条件的三调和双n次Bézier曲面的唯一性证明与设计算法.第三章研究三调和三角Bézier曲面的构造.运用三调和算子,提出三调和三角Bézier曲面的三种边界条件,并给出未知控制顶点的唯一性证明与具体计算方法.针对每一种边界条件,分别给出具体实例.通过实例分析,指出更适合曲面构造的边界条件,即对称边界条件.第四章中,提出满足一类特定六阶PDE的双三次B样条曲面设计方法.对满足此类六阶PDE的均匀与准均匀节点定义的双三次B样条曲面,我们提出一种边界条件,并通过推广的4 × 4面罩在控制顶点上的移动,得到数值稳定的线性系统和相应的算法,从而完成双三次B样条曲面设计.对仅仅给定边界曲线条件情况,一般无法构造唯一的单片双三次B样条曲面满足此类六阶PDE.通过本文算法,可以构造具有C1/G1连续性、满足特定六阶PDE且插值给定边界曲线的分片双三次B样条曲面,并通过具体实例验证了方法的有效性.第五章总结本文的工作并对下一步工作进行展望.
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